病毒扩散模型与Logistic方程的应用-优快云博客

病毒扩散模型

现代计算机蠕虫病毒传播途径多样化，除了利用移动介质如U盘等传播外，还可以通过邮件、网页挂马、聊天工具、文件传输等多种方式传播，一些病毒甚至可以利用系统的某些漏洞自动进行传播。中毒的主机会自动搜索可以被感染的主机，并将蠕虫病毒扩散开来。一台没有安装系统补丁、无安全防护软件的计算机连接到internet上，即使用户不做任何操作，只要网络是通的，在5分钟之内几乎必定会感染上蠕虫病毒。下图是一个著名的病毒--红色代码在某天内传播感染计算机的情况。

CodeRed Spreads

红色代码病毒的传播图

各种各样的蠕虫病毒在Internet上进行传播，大量的主机被感染，新的病毒又在不断出现。这种现象与人类社会所面临的传染病流行的情形类似。它们都可以用一个简单的数学模型来描述。

diff

式中N 是表示所有的可能被感染的群体数量， alpha 是已经被感染上病毒的个体所占的比例，K 是一个常数，表示在一个时间段内某个病毒携带者（或感染病毒的计算机）能够传染其他的个体数量。对于一个足够小的时间，新增加的被感染个体数 Nda 等于已经感染的数量和可被感染的 K(1-a) 的乘积。这是一个微分公式。

我们往往关心的是被感染的主机比例 $\alpha$ 随着时间的增长变化的情况。对上面的公式积分后得到如下的结果：

model

这个式子中的T 是一个积分常量，代表病毒的爆发期时刻。如下图的示例，传染能力(即在一段时间内一台感染病毒的个体可以再感染的主机的多少)的度量值K=2.6。病毒的爆发期时间T=5.52。在5.52小时之前，病毒的传播速度还比较慢，接近该时刻后，病毒感染了大量的主机，并且传播的速度也越来越快，最后几乎感染了所有的主机，再传播的速度也开始变慢了。前面红色代码病毒的传播图也表明了这个特点。这个公式有一个著名的名称：罗杰斯特方程(logistic equation )。

spread

logistic equation

参考文献：

如何在你的空闲时间占领整个互联网：How to 0wn the Internet in Your Spare Time

一些病毒传播的动画：http://www.caida.org/publications/animations/#security

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本题的目的要求你实现logistic方程，对不同的输入参数，计算某些特定时刻的函数值。

输入：

参数K和T，以及用起始时刻t_s ，终止时刻t_e 和增量dt表示的一个时间区间[t_s ,t_e )。包含t_s ，但不含t_e 。

输出：

对应各个时刻点的感染个体的比例，用空格进行分隔，每10个数据后换行。最后一行如果不够 10个数据也要换行。(补充：可能出现(t _e-t _s)/dt不是整数的情形，要注意是否应该取最后那个点）

输出数据请采用格式化字符串" %4.3f"，即每个数据之前放置一个空格，数据保留小数点后三位有效数字。

样例输入：

2.6□ 5.52↵

0□ 8□ 0.1↵

样例输出：

□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000↵

□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.000□ 0.001□ 0.001□ 0.001□ 0.001↵

□ 0.001□ 0.002□ 0.002□ 0.003□ 0.004□ 0.005□ 0.007□ 0.009□ 0.011□ 0.015↵

□ 0.019□ 0.024□ 0.031□ 0.040□ 0.052□ 0.066□ 0.084□ 0.106□ 0.133□ 0.166↵

□ 0.206□ 0.251□ 0.303□ 0.361□ 0.423□ 0.487□ 0.552□ 0.615□ 0.674□ 0.729↵

□ 0.777□ 0.819□ 0.854□ 0.884□ 0.908□ 0.927□ 0.943□ 0.956□ 0.965□ 0.973↵

□ 0.979□ 0.984□ 0.987□ 0.990□ 0.993□ 0.994□ 0.996□ 0.997□ 0.997□ 0.998↵

注意：(循环变量应使用整数类型)

import java.util.Scanner;

public class logistic {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		double K = scanner.nextDouble();
		double T = scanner.nextDouble();
		int t1 = scanner.nextInt();
		int t2 = scanner.nextInt();
		double dt = scanner.nextDouble();
		double a;
		int len = 0;
		for(int i=0;(t1+i*dt)<t2;i++){
			a = Math.exp(K*((t1+i*dt)-T))/(1+Math.exp(K*((t1+i*dt)-T)));
			System.out.printf(" %4.3f",a);
			len++;
			if(len==10){
				System.out.println();
				len = 0;
			}
		}
		if(len != 0){
			System.out.println();
		}
	}
}