how many different binary trees you can build with N nodes?
一棵二叉树可以看成根节点,左子树,右子树。因此N个节点,左子树如果有 j (<= N-1)个节点, 右子树有(N-1-j)个节点,故:
N个节点二叉树数目:
f(n) = f(n-1) + f(1)* f(n-2) +...+f(n-2)*f(1) + f(n-1) = sum( f(j) * f(n-j-1)) ( 0<=j<=n-1)
f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = f(1) + f(1) = 2
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f(n) = f(n-1) + f(1)* f(n-2) +...+f(n-2)*f(1) + f(n-1)
第一项是1个根节点,0个左节点,(n-1)右节点的情况:1*f(n-1)
第二项是1个根节点,1个左节点,(n-2)右节点的情况:1*f(1)*f(n-2)
......
.....
..
最后一项是1个根节点,(n-1)个左节点,0个右节点的情况:1*f(n-1)
整个这个方程是一个递归的表示方法。这个递归的结果是h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
C是选择符号。
这就是有名的卡特兰数。可以百科一下。