42、预测个体进化：方法与实践

预测个体进化：方法与实践

1. 引言

在数据分析领域，对个体对象随时间的进化研究至关重要。以往一些算法专注于监测进化相似的对象，而现在我们提出一种新的框架，旨在推导和适应多年生对象的状态，并预测其下一状态。该框架基于聚类结构和马尔可夫链混合模型，能有效处理对象进化的复杂问题。

2. 问题描述

2.1 数据模型

假设存在一个多年生对象流，包含无限序列的对象 (O = ⟨x_1, \ldots, x_j, \ldots⟩) 和离散的时间点序列 (⟨t_1, \ldots, t_i, \ldots⟩)。对象以不同的值集在规则间隔出现，形成对象流 (X = ⟨x_{t_1}^1, x_{t_1}^2, \ldots, x_{t_i}^1, x_{t_i}^2, \ldots⟩)。对于同一对象 (x_j) 的不同出现，若时间点不同，其值也不同。

2.2 预测问题

我们的目标是针对给定对象 (x_j) 在时间点 (t_i) 的实例 (x_{t_i}^j)，预测其在时间点 (t_{i + 1}) 最可能的实例 (\hat{x} {t {i + 1}}^j)。当对象维度 (d = 1) 时，这是单值预测；当 (d > 1) 时，预测任务变得复杂。

2.3 问题简化

通过利用数据的聚类结构，我们将问题简化为单值预测任务。对于给定时间范围，学习一个聚类模型 (\zeta)，模型中的每个质心/聚类代表对象可能处于的状态。例如，若质心 (C_3 \in \zeta) 最接近对象 (x_j) 在 (t_i) 时的实例 (x_i^j)，则称 (x_j) 在 (t_i) 时处于状态 (c_i^j = C_3)。

3. 框架

3.1 扁平化时间范围的对象聚类

3.1.1 时间扁平化

在进行聚类之前，我们先对时间点信息进行扁平化处理。将对象 (x_j) 的多个实例 (x_{t_i}^j, x_{t_{i + 1}}^j, \ldots) 初始视为不同对象，通过连接时间点信息和对象标识符创建新标识符。时间点信息虽不用于聚类，但后续用于重建对象及其进化序列。

3.1.2 构建聚类过渡序列

实例扁平化后，将其输入聚类算法（经实验，EM 聚类对可用数据集效果最佳）。聚类结果跨整个时间范围，部分聚类可能仅包含部分时间点的实例，而其他聚类包含所有时间点的实例。在学习过渡模型之前，将聚类结果转换为序列，每个对象的序列表示其随时间的聚类成员变化和进化过程。

以下是时间扁平化的示例表格：
| IDold | Timepoint | Values | IDnew | Values |
| — | — | — | — | — |
| j | i | tuple((x_{t_1}^1)) | (j \oplus i) | tuple((x_{t_1}^j)) |
| j | (i + 1) | tuple((x_{t_{i + 1}}^1)) | (j \oplus i + 1) | tuple((x_{t_{i + 1}}^j)) |
|… |… |… |… |… |
| j | k | tuple((x_{t_k}^1)) | (j \oplus k) | tuple((x_{t_k}^j)) |

3.2 学习多年生对象的聚类过渡模型

从构建的序列中，可以确定对象 (x) 在每个时间点的聚类成员身份。对于连续的两个时间点 (t_i) 和 (t_{i + 1})，对象 (x) 从聚类 (c_i) 过渡到 (c_{i + 1})。由于对象可能表现出多种过渡模式，在学习马尔可夫链之前，我们使用 Levenshtein 距离将对象序列分组。

具体步骤如下：
1. 识别所有唯一序列，并为每个序列计算 (benefit()) 值。计算公式为：
[benefit(s) = \sum_{s’ \in seqs} \begin{cases} dist_{max} - d & d < dist_{max} \ 0 & d \geq dist_{max} \end{cases}]
其中，(d = distance(s, s’))，(seqs) 是对象的构建序列。
2. 按 (benefit()) 值对序列排序，计算平均益处 (b_{avg})。标记所有 (benefit() > \frac{b_{avg}}{2}) 的序列为潜在种子。
3. 从益处最高的序列 (s) 开始，对所有 (distance(s, s’) < dist_{max}) 的序列 (s’) 训练马尔可夫链。若序列 (s’) 对 (s) 的益处值有贡献，则将其纳入以 (s) 为种子的马尔可夫链。
4. 当序列 (s’) 对某个马尔可夫链有贡献后，将其从潜在种子中移除。持续学习马尔可夫链，直到没有潜在种子或学习到 (k_{MC}) 个马尔可夫链。
5. 对于未对任何马尔可夫链有贡献的序列，将其分配给对数似然最高的马尔可夫链。

以下是序列分离的示例表格：
| ID | Sequence | Unique Contributors | Benefit |
| — | — | — | — |
| B | 3211 | 3211:4, 1211:1 | 9 |
| O | 3211 | 3211:4, 1211:1 | 9 |
| M | 1211 | 1211:1, 3211:4 | 6 |
| P | 3433 | 3433:1, 4334:2 | 4 |
| Z | 4334 | 4334:2, 3433:1 | 5 |
| G | 1423 | 1423:1 | 2 |
| U | 2255 | 2255:2 | 4 |
| V | 2255 | 2255:2 | 4 |

4. 评估

4.1 数据描述

4.1.1 欧洲公司（EC）数据集

为在现实场景中评估框架，我们提取了 2003 - 2007 年欧洲个别公司的财务和会计信息公开数据集。经过预处理，去除缺失值、重复值和异常值，选取所有时间点都有信息报告的公司子集，得到 836 家不同公司，每家公司由 7 个连续变量表征。

4.1.2 合成数据集

数据生成器以聚类数量和过渡模式数量为输入，为每个聚类初始化高斯分布。过渡模式定义了对象从一个高斯聚类跳到另一个的方式，过渡由矩阵表示，且每个对象遵循特定过渡模式。每个对象的初始聚类随机选择，后续聚类由过渡矩阵确定。

4.2 评估设置

4.2.1 基线算法

我们将真实数据集的策略与基线算法 MEC+ 进行比较。MEC+ 基于 MEC 构建，使用 MEC 生成的图学习单个马尔可夫链，用于预测多年生对象的下一状态。

4.2.2 聚类算法

我们尝试了多种聚类算法，如 K - Means、EM 高斯混合和 DBSCAN。通过在不同时间点尝试轮廓系数来确定聚类数量 (K)。由于扁平化数据的分离度低，难以找到合适的 (K) 值，且 K - Means 和 DBSCAN 的质量受影响。因此，我们选择 EM 作为基础聚类算法，并根据单个时间点的轮廓值调整 (K)。

4.2.3 评估指标

我们使用预测准确率和困惑度来评估学习模型的性能。准确率衡量预测状态与实际状态的匹配程度；困惑度是评估概率模型泛化性能的常用指标，计算公式为：
[Perplexity(M) = b^{-\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \log_b P(x_i | M)}]
其中，(x_i) 是从测试样本 (x_1, x_2, \ldots, x_N) 中抽取的测试示例，(b) 是对数的底数（由分布中的状态数量确定），(P(x_i | M)) 是概率模型 (M) 为测试示例 (x_i) 提供的最可能结果的概率。

4.3 实验结果

4.3.1 聚类结果

对于 EC 数据集，当 (K = 3) 时，发现的聚类较为抽象，大多数对象的聚类间过渡较少，基线算法使用单个马尔可夫链就能较好地近似过渡。当 (K = 7) 时，算法能发现更高分辨率的聚类，识别出在 (K = 3) 时被掩盖的局部过渡。

4.3.2 性能比较

在第一组实验中（图 6），对于不同的 (K) 值（3、4、7），基线算法（(k_{MC} = 1)）的性能优于使用多个马尔可夫链的策略，这表明单个马尔可夫链足以解释数据。在第二组实验中（图 7），模型在 2003 - 2006 年训练，对 2007 年进行预测，较小 (K) 值的策略及其基线表现更好，这部分是因为聚类数量较少。

以下是实验结果的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[选择不同 K 值] --> B[进行聚类]
    B --> C{K 值情况}
    C -->|K = 3| D[抽象聚类，过渡少，基线近似好]
    C -->|K = 7| E[高分辨率聚类，发现局部过渡]
    B --> F[训练模型]
    F --> G[进行预测]
    G --> H{K 值情况}
    H -->|小 K 值| I[策略及基线表现好]
    H -->|大 K 值| J[需进一步分析]

综上所述，我们的框架在处理多年生对象的进化预测问题上具有一定的有效性和潜力。通过合理选择聚类数量和马尔可夫链数量，可以更好地适应不同的数据特征和预测需求。后续我们将进一步探索如何更准确地确定聚类数量和优化马尔可夫链混合模型，以提高预测性能。

4.3.3 不同 K 值下的性能分析

为了更深入地了解不同 (K) 值对模型性能的影响，我们对实验结果进行了详细分析。
| K 值 | 聚类特点 | 过渡情况 | 模型性能 |
| — | — | — | — |
| 3 | 抽象 | 多数对象聚类间过渡少 | 基线算法用单个马尔可夫链近似好 |
| 7 | 高分辨率 | 能发现局部过渡 | 可能需多个马尔可夫链提升性能 |

当 (K = 3) 时，聚类较为宽泛，对象的状态变化相对简单，单个马尔可夫链能够捕捉到主要的过渡模式。而当 (K = 7) 时，聚类更加细致，对象的状态变化更加复杂，多个马尔可夫链可能更能准确地描述对象的进化过程。

4.3.4 样本大小对性能的影响

在实验中，我们还研究了样本大小对模型性能的影响。在第一组实验中，改变样本大小对不同策略的影响较小。这可能是因为数据的内在结构相对稳定，少量的样本变化不足以改变模型对数据的理解。

然而，在实际应用中，样本大小仍然是一个需要考虑的因素。当样本量较小时，模型可能无法充分学习到数据的特征，导致性能下降。而当样本量过大时，训练时间和计算资源的消耗会增加。因此，在实际应用中，需要根据数据的特点和计算资源的限制，合理选择样本大小。

4.3.5 模型复杂度与性能的权衡

我们的框架中，马尔可夫链的数量 (k_{MC}) 是一个可以调整的参数。增加 (k_{MC}) 可以提高模型的复杂度，使其能够更好地拟合数据的复杂过渡模式。但同时，增加 (k_{MC}) 也会增加模型的训练时间和计算资源的消耗，并且可能导致过拟合。

在实验中，我们发现对于某些情况，单个马尔可夫链（(k_{MC} = 1)）就能够很好地解释数据，而在其他情况下，多个马尔可夫链可能会提高模型的性能。因此，在实际应用中，需要根据数据的特点和性能要求，权衡模型的复杂度和性能。

以下是模型复杂度与性能权衡的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[确定数据特点] --> B{是否复杂过渡模式}
    B -->|是| C[增加 kMC]
    B -->|否| D[考虑单个马尔可夫链]
    C --> E[训练模型]
    D --> E
    E --> F{是否过拟合}
    F -->|是| G[降低 kMC]
    F -->|否| H[评估性能]
    G --> E
    H --> I[确定最佳 kMC]

5. 结论与展望

5.1 结论

通过对欧洲公司数据集和合成数据集的实验，我们验证了我们提出的框架在预测多年生对象进化方面的有效性。该框架通过聚类和马尔可夫链混合模型，能够将多值预测问题简化为单值预测问题，并在一定程度上捕捉到对象的进化模式。

实验结果表明，聚类数量 (K) 和马尔可夫链数量 (k_{MC}) 对模型性能有重要影响。在不同的 (K) 值下，模型的表现不同，需要根据数据的特点选择合适的 (K) 值。同时，对于某些数据，单个马尔可夫链就能够满足预测需求，而对于复杂的数据，多个马尔可夫链可能会提高预测性能。

5.2 展望

虽然我们的框架取得了一定的成果，但仍有一些方面可以进一步改进和研究。
- 聚类数量的自动确定 ：目前，确定聚类数量 (K) 仍然是一个未解决的问题。未来可以研究更有效的方法来自动确定 (K)，例如基于数据的内在结构和特征，或者使用无监督学习的方法。
- 马尔可夫链混合模型的优化 ：可以进一步研究如何优化马尔可夫链混合模型，例如改进序列分组的方法，或者使用更复杂的马尔可夫链模型。
- 更多数据集的验证 ：可以在更多的真实数据集上验证我们的框架，以评估其在不同领域和场景下的性能。

总之，我们的框架为多年生对象的进化预测提供了一种有效的方法，但仍有许多工作需要进一步开展，以提高模型的性能和适用性。通过不断的研究和改进，我们有望更好地理解和预测对象的进化过程。