聚类分析主要算法详解

聚类分析主要算法详解

摘要： 本文全面且深入地阐述了聚类分析中的几种主要算法，包括 K - 均值算法、EM 最大期望算法、DBScan 密度算法、改进 K - 均值算法以及多层次聚类算法。详细介绍了各算法的原理、工作流程、优缺点，并通过实际案例展示其应用过程，同时提供丰富的代码示例以辅助理解。旨在帮助读者深入掌握这些聚类算法，从而能够根据不同的数据特征和应用场景灵活选择合适的算法。

一、引言

聚类分析作为数据挖掘和机器学习领域的关键技术之一，旨在将数据集中具有相似特征的数据对象划分到同一类簇中，使得不同类簇之间的数据对象具有较大差异。这有助于从海量数据中发现内在的数据结构和规律，在众多领域如市场分析、图像识别、生物信息学等有着广泛的应用。以下将详细介绍几种主要的聚类算法。

二、K - 均值算法

（一）算法原理

K - 均值算法基于划分的思想，试图将数据划分为 K 个互不相交的簇，使得每个簇内的数据点到其簇中心的距离之和最小。其具体步骤如下：

1. 首先随机初始化 K 个簇中心，这些中心可以是数据集中的 K 个数据点，也可以是随机生成的 K 个向量。
2. 对于数据集中的每个数据点，计算它到 K 个簇中心的距离，通常采用欧几里得距离公式$d(x_i,c_j)=\sqrt{{\sum }_{k=1}^n(x_{ik}-c_{jk}{)}^2}$（其中$x_i$是第$i$个数据点，$c_j$是第$j$个簇中心，$n$是数据的维度），然后将数据点分配到距离最近的簇中心所在的簇。
3. 重新计算每个簇的中心，即将簇内所有数据点的坐标值分别求平均，得到新的簇中心。
4. 重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再发生变化或者达到预设的最大迭代次数。

（二）代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.cluster import KMeans

# 生成模拟数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 绘制原始数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Original Data")
plt.show()

# 使用 K-Means 算法进行聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=4, random_state=42)
kmeans.fit(X)
labels = kmeans.labels_
centers = kmeans.cluster_centers_

# 绘制聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker='*', s=200, c='red')
plt.title("K-Means Clustering Result")
plt.show()

（三）优缺点

• 优点：
  • 算法简单直观，易于理解和实现，计算复杂度相对较低，适合大规模数据集的初步聚类分析。
  • 当数据具有明显的球形簇结构且簇与簇之间区分度较高时，能够取得较好的聚类效果。
• 缺点：
  • 需要事先指定簇的数量 K，而在实际应用中，K 的确定往往比较困难，且不同的 K 值可能导致截然不同的聚类结果。
  • 对初始簇中心的选择非常敏感，如果初始中心选择不当，很容易收敛到局部最优解而非全局最优解。
  • 只能处理数值型数据，对于分类数据需要进行特殊的编码转换才能处理。
  • 无法发现非球形的簇结构，例如具有不同形状、大小和密度的簇。

三、EM 最大期望算法

（一）算法原理

EM 算法常用于含有隐变量的数据聚类问题，它是一种迭代优化算法，通过不断地期望（E 步）和最大化（M 步）来估计模型参数。以高斯混合模型（GMM）为例，其原理如下：

1. E 步：根据当前的模型参数（如各高斯分量的均值、协方差和混合系数），计算每个数据点属于每个高斯分量的后验概率（即期望）。计算公式为$w_{ij}=\frac{{\pi }_j\mathcal{N}(x_i|{\mu }_j,{\Sigma }_j)}{{\sum }_{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)}$（其中$w_{ij}$是数据点$x_i$属于第$j$个高斯分量的后验概率，${\pi }_j$是第$j$个高斯分量的混合系数，$\mathcal{N}(x_i|{\mu }_j,{\Sigma }_j)$是数据点$x_i$在第$j$个高斯分布下的概率密度函数）。
2. M 步：根据 E 步计算得到的后验概率，重新估计模型参数，包括各高斯分量的均值${\mu }_j=\frac{{\sum }_{i=1}^n{w}_{ij}{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{w}_{ij}}$、协方差${\Sigma }_j=\frac{{\sum }_{i=1}^n{w}_{ij}(x_i-{\mu }_j)(x_i-{\mu }_j{)}^T}{{\sum }_{i=1}^n{w}_{ij}}$和混合系数${\pi }_j=\frac{{\sum }_{i=1}^n{w}_{ij}}{n}$。
3. 重复 E 步和 M 步，直到模型参数收敛，即相邻两次迭代中参数的变化小于预设的阈值。

（二）代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.mixture import GaussianMixture

# 生成模拟数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 绘制原始数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Original Data")
plt.show()

# 使用 EM 算法（通过 GaussianMixture 实现）进行聚类
gmm = GaussianMixture(n_components=4, random_state=42)
gmm.fit(X)
labels = gmm.predict(X)
means = gmm.means_

# 绘制聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
plt.scatter(means[:, 0], means[:, 1], marker='*', s=200, c='red')
plt.title("EM Clustering Result")
plt.show()

（三）优缺点

• 优点：
  • 能够处理具有复杂分布的数据，尤其是当数据可以用多个高斯分布混合来建模时，效果较好。
  • 相比于 K - 均值算法，不需要事先确定簇的形状为球形，对数据的适应性更强。
• 缺点：
  • 计算复杂度较高，尤其是在处理大规模数据集或高维数据时，计算量会显著增加。
  • 对初始参数的设置比较敏感，如果初始参数设置不合理，可能会收敛到局部最优解。
  • 模型的解释性相对较弱，因为涉及到多个高斯分量的参数估计，理解起来较为复杂。

四、DBScan 密度算法

（一）算法原理

DBScan 算法基于密度的概念来发现数据集中的簇，它将数据点分为核心点、边界点和噪声点。核心点是在其邻域内（半径为$ϵ$的邻域）包含至少 MinPts 个数据点的点；边界点是在某个核心点邻域内但自身邻域内数据点数量不足 MinPts 的点；噪声点是既不是核心点也不是边界点的点。算法步骤如下：

1. 从数据集中任选一个未被访问的数据点。
2. 如果该点是核心点，则创建一个新的簇，并将其邻域内的所有点（包括核心点和边界点）都加入到该簇中，然后递归地处理这些新加入点的邻域，不断扩展簇。
3. 如果该点是边界点，则将其标记为噪声点或者分配到某个已有的簇中，具体取决于其与已发现簇的关系。
4. 重复步骤 1 到 3，直到所有数据点都被访问过。

（二）代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.cluster import DBSCAN

# 生成模拟数据
X, y = make_moons(n_samples=300, noise=0.05, random_state=42)

# 绘制原始数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Original Data")
plt.show()

# 使用 DBSCAN 算法进行聚类
dbscan = DBSCAN(eps=0.3, min_samples=5)
labels = dbscan.fit_predict(X)

# 绘制聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
plt.title("DBSCAN Clustering Result")
plt.show()

（三）优缺点

• 优点：
  • 不需要事先指定簇的数量，能够自动发现数据集中的簇结构，并且可以识别出数据中的噪声点，对噪声具有较好的鲁棒性。
  • 能够处理任意形状的簇，包括非球形、凹形等复杂形状的簇，对于数据分布不均匀的情况也有一定的适应性。
• 缺点：
  • 对参数$ϵ$（邻域半径）和 MinPts（最小点数）非常敏感，不同的参数设置可能会导致完全不同的聚类结果，而且这两个参数的选择往往比较困难，需要对数据有一定的先验了解。
  • 在数据密度差异较大的情况下，可能会将一个大的密度不均匀的簇划分成多个小簇，或者将多个密度相近但实际应分开的簇合并在一起。

五、改进 K - 均值算法

（一）算法原理

改进 K - 均值算法是针对传统 K - 均值算法的一些缺陷进行优化的算法，常见的改进策略有多种，例如：

1. K - 均值++算法：在初始化簇中心时，不再是随机选择，而是首先随机选择一个数据点作为第一个簇中心，然后对于每个数据点，计算它到已选簇中心的最短距离$D(x)$，并以概率$P(x)=\frac{D(x{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{n}D(x_i{)}^2}$选择下一个簇中心。这样可以使得初始簇中心的分布更加合理，减少收敛到局部最优解的可能性。
2. 二分 K - 均值算法：首先将所有数据点作为一个簇，然后不断地将簇进行二分，选择使得划分后 SSE（误差平方和，即每个数据点到其所属簇中心的距离平方和）增加最小的簇进行划分，直到达到预设的簇数量 K。这种方法可以在一定程度上避免传统 K - 均值算法对初始值敏感的问题，并且能够得到相对较好的聚类结果。

（二）代码示例（以 K - 均值++为例）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.cluster import KMeans

# 生成模拟数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 绘制原始数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Original Data")
plt.show()

# 使用 K-Means++算法进行聚类
kmeans_pp = KMeans(n_clusters=4, init='k-means++', random_state=42)
kmeans_pp.fit(X)
labels_pp = kmeans_pp.labels_
centers_pp = kmeans_pp.cluster_centers_

# 绘制聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels_pp)
plt.scatter(centers_pp[:, 0], centers_pp[:, 1], marker='*', s=200, c='red')
plt.title("K-Means++ Clustering Result")
plt.show()

（三）优缺点

• 优点：
  • 相比传统 K - 均值算法，K - 均值++算法在初始化方面有很大改进，能够提高找到全局最优解的概率，从而得到更准确的聚类结果。
  • 二分 K - 均值算法在处理簇数量的确定和初始值敏感问题上有一定优势，聚类结果相对稳定且质量较高。
• 缺点：
  • 虽然在一定程度上改善了传统 K - 均值算法的问题，但仍然不能完全克服 K - 均值算法的固有缺陷，例如对于非球形簇结构的处理能力有限。
  • 改进算法在计算复杂度上可能会略有增加，尤其是二分 K - 均值算法，因为需要不断地进行簇的划分和评估。

六、多层次聚类

（一）算法原理

多层次聚类算法构建了一个聚类的层次结构，主要有凝聚式和分裂式两种方法。

1. 凝聚式层次聚类：从每个数据点作为一个单独的簇开始，然后不断合并最相似的簇。相似性度量可以采用多种方法，如单链法（两个簇之间的距离定义为两个簇中最近的两个数据点之间的距离）、全链法（两个簇之间的距离定义为两个簇中最远的两个数据点之间的距离）、平均链法（两个簇之间的距离定义为两个簇中所有数据点对之间距离的平均值）等。在每一步合并中，选择距离最近（根据所选相似性度量）的两个簇进行合并，直到所有数据点都合并到一个簇中或者达到预设的停止条件，如簇的数量达到期望的值。
2. 分裂式层次聚类：与凝聚式相反，它从所有数据点都在一个簇开始，不断分裂簇。首先选择一个簇，然后根据某种分裂准则将其分裂成两个子簇，重复这个过程，直到每个数据点都成为一个单独的簇或者满足停止条件。

（二）代码示例（以凝聚式层次聚类为例）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成模拟数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42)

# 计算层次聚类的连接矩阵（采用平均链法）
Z = linkage(X, method='average')

# 绘制层次聚类的树状图
plt.figure(figsize=(10, 5))
dendrogram(Z)
plt.title("Hierarchical Clustering Dendrogram")
plt.show()

# 根据树状图确定簇的数量并提取簇标签
from scipy.cluster.hierarchy import fcluster
k = 4  # 根据树状图确定的簇数量
labels = fcluster(Z, k, criterion='maxclust')

# 绘制聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels)
plt.title("Hierarchical Clustering Result")
plt.show()

（三）优缺点

• 优点：
  • 不需要事先指定簇的数量，聚类结果以树状图的形式呈现，能够清晰地展示数据的层次结构，用户可以根据实际需求在不同的层次上选择合适的簇数量。
  • 能够处理不同形状、大小和密度的簇结构，相对较为灵活，对于数据分布复杂的情况有较好的适应性。
• 缺点：
  • 计算复杂度较高，尤其是对于大规模数据集，因为需要计算所有数据点对之间的相似性，计算量会随着数据点数量的增加而急剧增加。
  • 一旦一个合并或者分裂被执行，就不能再撤销，可能会导致聚类结果不好，如果在早期阶段出现错误的合并或分裂，会影响整个聚类的质量。

七、算法比较与总结

• K - 均值算法：适用于数据分布较为均匀、呈球形或近似球形的情况，计算速度快，但需事先确定 K，对初始值敏感且无法处理非球形簇。
• EM 最大期望算法：能处理复杂分布数据，不限于球形簇，但计算复杂，对初始参数敏感且模型解释性弱。
• DBScan 密度算法：自动确定簇数量和形状，可识别噪声，能处理任意形状簇，但对参数敏感，在密度差异大的数据上有局限。
• 改进 K - 均值算法：改善了传统 K - 均值算法的部分问题，如初始化或簇数量确定，但仍有 K - 均值算法的固有缺陷且计算复杂度可能增加。
• 多层次聚类：无需事先指定簇数量，展示层次结构，可处理各种形状簇，但计算复杂且聚类结果不可撤销。

在实际应用中，需要综合考虑数据的特点、应用场景以及对聚类结果的要求来选择合适的聚类算法。如果数据规模大且近似球形分布，K - 均值或其改进算法可能较为合适；如果数据分布复杂且形状不规则，DBScan 或多层次聚类算法可能更能满足需求；如果数据可由多个高斯分布混合建模，EM 最大期望算法则可作为一种选择。