算法导论练习11.5-1

最新推荐文章于 2025-12-23 20:02:55 发布

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假设采用了开放寻址法和均匀散列技术将n个关键字插入到一个大小为m的散列表中。设p(n,m)为没有冲突发生的概率。试证明： $p(n,m) \le e^{\frac{-n(n-1)}{2m}}$ 。（提示：见式（3.12）。）论证当n超过 $\sqrt{m}$ 时，不发生冲突的概率快速趋近于0。

对于所有实数x，我们有不等式 $e^{x} \ge 1 + x$ （3.12）

稍作变形，对x大于-1时在两边以e为底取对数有 $x \ge ln(1 + x)$

不难推算将n个关键字插入到一个大小为m的散列表中，不发生冲突的概率为：

$p(n, m) = \frac{m}{m} \cdot \frac{m-1}{m} \cdot \frac{m - 2}{m} \cdot ... \cdot \frac{m - (n - 1)}{m}$

对其取以e为底的对数有：

$ln(p(n,m)) = ln(1 - \frac{1}{m}) + ln(1 - \frac{2}{m}) + ... + ln(1 - \frac{n - 1}{m})$

结合上述式（3.12）变形，有：

$ln(p(n, m)) \le (-\frac{1}{m}) + (-\frac{2}{m}) + ... + (-\frac{n-1}{m})$ 即 $ln(p(n,m)) \le -\frac{n(n-1)}{2m}$

因此 $p(n, m) \le e^{-\frac{n(n-1)}{2m}}$

然而不发生冲突的概率快速趋近于0令人费解

为方便说明选取m = 1000对其进行作图

import matplotlib.pyplot as plt
import math

def prod(n, m = 1000):
    res = 1
    for i in range(1, n):
        res *= (1 - n / m)
    return res

x = list(range(1, 1000))
y = [prod(i) for i in x]
z = [math.e**(-i * (i - 1) / 2000) for i in x]

plt.plot(x, y, label = 'real')
plt.plot(x, z, label = 'limit')
plt.legend()
plt.show()