算法导论附录B B.5-5

原创于 2021-07-14 09:59:40 发布 · 997 阅读

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该博客探讨了一棵满二叉树中内路径长度(i)和外路径长度(e)的关系。通过分析不同深度节点的内部结点和叶结点数量，得出满二叉树内路径长度与外路径长度之间的数学关系：e = i + 2n，其中n为内部结点的数量。证明过程涉及对树的深度和各层结点数的递归分析，揭示了二叉树结构的内在规律。

一棵满二叉树的内路径长度是指所有内部结点深度之和。类似地，外路径长度是指所有叶结点的深度之和。考虑一个有n个内部结点的满二叉树，其内路径长度为i，外路径长度为e。证明e = i + 2n.

证明：先考虑不同深度节点的内部结点和叶结点数量，不妨设树最大深度为d，有：

depth	inner_node	leaf_node
0	$a_{0}$ （1）	$b_{0}$ （0）
1	$a_{1}$	$b_{1}$
2	$a_{2}$	$b_{2}$
...	...	...
d	$a_{d}$ （0）	$b_{d}$

不难看出每层中的内部结点与叶结点数量和与上一层的内部节点数量有关，即：

$a_{k} + b_{k} = 2a_{k-1}$

内路径长度i，外路径长度e分别为各深度结点数乘以对应深度之和，即：

$i = \sum_{k = 1}^{d}k \cdot a_{k}$

$e = \sum_{k = 1}^{d}k \cdot b_{k}$

不难看出（因为 $a_{0}$ ， $b_{0}$ ， $a_{d}$ 数值上均为0，变换看着可能有点别扭）：

$i + e = \sum_{k = 1}^{d}k \cdot (a_{k} + b_{k}) = 2\sum_{k = 1}^{d}k \cdot a_{k - 1} = 2\sum_{k = 1}^{d}(k + 1) \cdot a_{k} = 2i + 2\sum_{k = 1}^{d} a_{k} = 2i + 2n$

因此 $e = i + 2n$

4 条评论

mtc_value 2024.06.03
感觉有一点小错误，不知道是不是我理解的有问题：从ak-1到ak的转化过程，少了一项1*a0，a0不应该是0，也就是转换过来的式子少加了2，而倒数第二步，式子的后半部分少了a0，应该是2（n-1），这样2i+2+2(n-1)，常数就抵消了，这样才得到2i+2n
- mtc_value回复ash062 2024.06.06
  [face]emoji:063.png[/face]
- ash062回复mtc_value 2024.06.03
  感觉你是对的，之前写的有问题（把a0当成0了）