算法导论附录C C.5-1

最新推荐文章于 2022-04-07 22:38:32 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-07 22:38:32 发布 · 147 阅读

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博客探讨了抛掷一枚均匀硬币n次全为反面和4n次少于n个正面的概率问题。通过数学分析和代码计算得出，n小于18时第二种情况概率较小，否则第一种情况概率更小。涉及概率论、组合数学和编程求解。

抛掷一枚均匀硬币n次都为反面朝上的概率与抛掷一枚均匀硬币4n次得到少于n个正面的概率哪个小？

这题做起来比较蛋疼，因为哪个小与n有关。。。

首先抛n次都为反面朝上的概率为 $\frac{1}{2^{n}}$

抛4n次得到少于n个正面的概率为 $\frac{1}{2^{4n}}\sum_{i = 0}^{n - 1}C_{4n}^{i}$

对以上两个概率考虑n+1时的情况：

不难看出第一个在n+1时概率为n时概率的一半

第二个为了方便说明，仅考虑n-1一项的情况，其实不难证明

$\frac{1}{2^{4n}}C_{4n}^{n-1} < \frac{1}{2^{4n}}\sum_{i = 0}^{n - 1}C_{4n}^{i} < \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2^{4n}}C_{4n}^{n-1}$

有：

$\frac{1}{2^{4(n+1)}}C_{4(n + 1)} ^ {(n + 1) - 1} / \frac{1}{2^{4n}}C_{4n}^{n - 1}= \frac{1}{16} \cdot \frac{(4n+4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1)}{(3n + 4)(3n + 3)(3n + 2)n}$

上式随着n增大是大于1/2的，因此虽然n=1时，第一种情况概率大于第二种情况的概率，但应该存在一点使在其后第二种情况概率更大，下借助代码简单查找一下

class dotfind:
    # 阶乘部分
    def factorial(self, n):
        if n > 1:
            return n * self.factorial(n - 1)
        else:
            return 1
    # 组合，延用高中符号C
    def C(self, a, b):
        return self.factorial(a) / self.factorial(b) / self.factorial(a - b)
    # 运行比较，返回第一种和第二种情况概率
    def run(self, n):
        return 1 / 2**n, 1 / 2**(4 * n) * sum(self.C(4 * n, i) for i in range(n))

测试结果如下