次小生成树——转载于张鹏飞博客

最新推荐文章于 2022-02-19 22:33:39 发布

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#图论-次小生成树

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本文介绍了次小生成树的概念及其实现方法。首先通过变换视角证明了次小生成树可由最小生成树更换一条边得到。接着详细阐述了算法的具体步骤，并提供了实现思路。

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一.理论准备

需要读者事先懂得prime算法，不太了解的请看博主这一篇http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3286956.html，也需要读者对DP了解一些。

先看一个结论：次小生成树可由最小生成树换一条边得到

     证明:咱换种方式去看待这个结论(一个生成树可以通过换边得到另一个生成树)，T是某一棵最小生成树，T0是任一棵异于T的生成树，通过变换T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T)  变成最小生成树。所谓的变换是，每次把Ti中的某条边换成T中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的权。
     step 1. 在Ti中任取一条不在T中的边uv. 
     step 2. 把边uv去掉，就剩下两个连通分量A和B，在T中，必有唯一的边u'v' 连结A和B。这是为什么呢？因为生成树中任意两点间只有一条路径(下面也要用这个)，且必有一条。 
     step 3. 显然u'v'的权比uv小 (prime算法贪心的，否则,uv就应该在T中)，把u'v'替换uv即得树T(i+1)。 
     特别地：取T0为任一棵次小生成树，T(n-1) 也就是次小生成树且跟T差一条边， 结论得证。

二.具体步骤

step 1. 先用prim求出最小生成树T，在prim的同时，用一个矩阵maxd[u][v] 记录在T中连结任意两点u,v的唯一的路中权值最大的那条边的权值.(有些拗口)，这是很容易做到的，因为prim是每次增加一个结点s, 在此需要保存节点和其父节点，采用DP，则最大权值要么是新加入的边，要么是父节点到起始点的采用DP算出来的距离，如下：

//u是刚加入的点，不过还没进入节点数组，v是已经存在的点
//min是按prime新加入那条边
maxd[v][u] = maxd[u][v] = max{min，maxd[father[u]][v]} 该步骤用时 O(V^2)，就是prime算法的耗时。
step 2. 枚举所有不在T中的边uv, 加入边uv则必然替换权为maxd[u][v]的边，这样才能保证次小。

三.算法实现

    只要最小生成树和次小生成树权值和一样就唯一。因此得出如下算法，首先计算出最小生成树T，然后对最小生成树上任意不相邻的两个点 uv添加最小生成树以外的存在的边形成环，然后寻找u与v之间最小生成树上最长的边删去，计算map[i][j]与 maxd[i][j差值，求出最小的来，如果是0，就说明MST和次小生成树一样。