概率论习题（持续更新）

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#概率论与数理统计 #抽样分布

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本文探讨了从正态分布总体中抽取的简单随机样本的几个关键统计量的分布特性，包括χ²分布、F分布及t分布，并给出了详细的推导过程。

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带 * 号的是做错的题

设 $X_1,X_2,...,X_{25}$ 是来自总体 $X$ 的简单的随机样本，总体 $X\sim N(0,16)$ ，设统计量 $U=\sum\limits_{k=1}^{16}X_k^2， V=\sum\limits_{k=17}^{25}X_k^2$ ，则 $\frac{U}{16}$ 服从____， $\frac{9U}{16V}$ 服从____， $\frac{2(X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22})}{\sqrt{U}}$ 服从____。

解：由 $X_k\sim N(0,16)$ 得， $\frac{X_k}{4} \sim N(0,1)$

$\therefore\sum\limits_{k=1}^{16}(\frac{X_k}{4})^{2}=\frac{1}{16}\sum\limits_{k=1}^{16}X_k^{2}=\frac{U}{16}\sim \chi(16)$

同理 $\sum\limits_{k=17}^{25}(\frac{X_k}{4})^{2}=\frac{1} {16}\sum\limits_{k=17}^{25}X_k^{2}=\frac{V}{16}\sim \chi(9)$

$\therefore\frac{\chi(16)/16}{\chi(9)/9}=\frac{\frac{U}{16}\frac{1}{16}}{\frac{V}{16}\frac{1}{9}}=\frac{9U}{16V}\sim F(16,9)$

$\because\frac{X_k}{4} \sim N(0,1)$

$\therefore\frac{X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22}}{4}\sim N(0,4)$

$\therefore\frac{X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22}}{8}\sim N(0,1)$

$\therefore\frac{\frac{X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22}}{8}}{\sqrt{\chi(16)/16}}=\frac{\frac{X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22}}{8}}{\sqrt{\frac{U}{16}/16}}=\frac{2(X_{17}+X_{20}+X_{21}+X_{22})}{\sqrt{U}}\sim t(16)$

答案： $\chi(16),F(16,9),t(16)$