计算前 n 个素数, 时间复杂度 O(n^1.5)

C# 代码如下:

• 两层 for 循环, 第一层时间复杂度 $O(n)$, 第二层时间复杂度 $O(\sqrt{n})$.
• 总的时间复杂度为 $O(n^{1.5})$.
• 内部会存放找到的素数, 因此空间复杂度为素数的渐进估计: $O(n/logn)$.

    /// <summary>
    /// 返回所有小于等于 limit 的素数. 
    /// </summary>
    /// <param name="limit">上限.</param>
    /// <returns>所有小于等于 limit 的素数的序列.</returns>
    public static IEnumerable<int> GetPrimesByLimit(int limit)
    {
        List<int> primes = [2];

        if(limit >= 2)
        {
            yield return 2; 
        }

        for (int i = 3; i <= limit; i += 2)
        {
            foreach ( int p in primes)
            {
                if (i % p == 0)
                {
                    break;
                }

                if(p * p > i)
                {
                    primes.Add(i);
                    yield return i;
                    break;
                }
            }
        }
    }

在笔记本电脑上, 计算10万以内的素数用时 11.08ms.

计算 100万以内的素数用时 212.15ms

计算 1000万以内的素数用时 3912.10ms