11、数值积分与常微分方程求解的深入探讨

数值积分与常微分方程求解的深入探讨

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在数值积分领域，有多种方法和练习值得我们深入研究。

自适应积分（Adaptive integration）

当我们想要使用梯形法或中点法计算积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$，并使误差小于规定的容差 $\epsilon$ 时，就需要确定合适的区间数量 $n$。我们可以采用迭代过程来解决这个问题：
1. 比较 $n$ 个区间和 $2n$ 个区间计算得到的积分结果。
2. 如果两者的差值小于 $\epsilon$，则返回 $2n$ 个区间对应的积分值。
3. 否则，将 $n$ 减半并重复上述过程。

为了便于后续使用，我们可以编写一个函数 adaptive_integration ：

function result = adaptive_integration(f, a, b, eps, method=midpoint)
    % 实现自适应积分的函数
    % 具体代码实现待补充
end

接下来，我们需要对该方法进行测试：
- 对于积分 $\int_{a}^{b} x^2dx$ 和 $\int_{a}^{b} \sqrt{x}dx$，当 $\epsilon$ 分别取 $10^{-1}$ 和 $10^{-10}$ 时，计算并写出精确误差。
- 绘制 $\sqrt{x}dx$ 中 $n$ 与 $\epsilon \in [10^{-1}, 10^{-10}]$ 的关系图，其中 $\epsilon$