8、数值积分方法：复合梯形法则与复合中点法则详解

数值积分方法：复合梯形法则与复合中点法则详解

1. 复合梯形法则

1.1 原理与公式推导

复合梯形法则是一种用于近似计算定积分的方法。它的基本思想是将积分区间划分为多个小的子区间，然后用梯形的面积之和来近似曲线下的面积。

假设我们要计算函数 (f(x)) 在区间 ([a, b]) 上的定积分 (\int_{a}^{b}f(x)dx)，将该区间等分为 (n) 个宽度为 (h = \frac{b - a}{n}) 的子区间，每个子区间的端点为 (x_i = a + ih)，其中 (i = 0, 1, \cdots, n)。

通过对每个子区间上的积分用单个梯形进行近似，经过推导可以得到复合梯形法则的公式：
(\int_{a}^{b}f(x)dx \approx h\left[\frac{1}{2}f(x_0) + \sum_{i = 1}^{n - 1}f(x_i) + \frac{1}{2}f(x_n)\right])

这里需要注意的是，“复合”一词通常用于当数值积分方法应用于多个子区间的情况。严格来说，“梯形方法”可能指使用单个梯形的情况，而“复合梯形方法”则是使用多个梯形时更准确的名称，但实际使用中命名并不总是严格遵循这一规则。

1.2 实现方式

在实现复合梯形法则时，我们面临两种选择：
- 编写特定程序 ：针对特定的积分问题，使用通用规则的思想，但将通用公式中的符号替换为特定问题的符号。例如，对于积分 (\int_{0}^{1}v(t)dt)，其中 (v(t) = 3t^2e^{t^3})，我们可以将通用公式中的 (f) 替换为 (v