16、MATLAB在常微分方程边值问题及相关领域的应用

MATLAB在常微分方程边值问题及相关领域的应用

1. 常微分方程边值问题概述

当常微分方程涉及边界条件而非初始条件时，通常采用数值方法来解决问题。在边值问题中，需要使解符合已知的边界条件，而不是简单地从初始条件进行积分。以下是一些常见的边值问题示例：
- 一根杆两端处于已知不同温度，且通过自然对流沿杆散热，求杆的温度分布。
- 梁受到沿梁的载荷作用，梁两端的边界条件已知，求梁的挠度。
- 已知电容器极板间的电荷密度和极板间的固定电压，求极板间的电场。

在这些例子中，通常使用有限差分方法对二阶非齐次常微分方程进行数值求解。

2. 有限差分公式

为了数值求解涉及常微分、线性和微分方程的边值问题，需要使用通过泰勒级数展开得到的差分公式。有限差分方法首先将自变量域划分为N个子区间。常用的有限差分公式如下表所示：
| 公式名称 | 公式内容 | 用途 |
| — | — | — |
| 一阶向前差分公式 | (y’ i = \frac{y {i + 1}-y_i}{\Delta x}) | 通常用于域开始处的(y’)边界条件 |
| 一阶向后差分公式 | (y’ i = \frac{y_i - y {i - 1}}{\Delta x}) | 通常用于域结束处的(y’)边界条件 |
| 二阶中心差分公式 | (y’‘ i = \frac{y {i + 1}+y_{i - 1}-2y_i}{\Delta x^2}) | 用于域内部二阶导数的计算 |

3. 温度分布问题示例

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