HDU 3664 Permutation Counting （DP）

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本文介绍了一种算法，用于解决给定范围内整数排列的问题，目标是计算那些具有特定E值（即满足ai > i的元素数量）的排列总数。通过动态规划的方法，文章详细解释了如何构建状态转移方程，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Permutation Counting

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1633 Accepted Submission(s): 845

Problem Description

Given a permutation a1, a2, … aN of {1, 2, …, N}, we define its E-value as the amount of elements where ai > i. For example, the E-value of permutation {1, 3, 2, 4} is 1, while the E-value of {4, 3, 2, 1} is 2. You are requested to find how many permutations of {1, 2, …, N} whose E-value is exactly k.

Input

There are several test cases, and one line for each case, which contains two integers, N and k. (1 <= N <= 1000, 0 <= k <= N).

Output

Output one line for each case. For the answer may be quite huge, you need to output the answer module 1,000,000,007.

Sample Input

  
   3 0
3 1

Sample Output

  
   1
4


   
    
     Hint
    There is only one permutation with E-value 0: {1,2,3}, and there are four permutations with E-value 1: {1,3,2}, {2,1,3}, {3,1,2}, {3,2,1}

Source

2010 Asia Regional Harbin

大体题意：

有一个1，2，3，，，n 的数组，他的每一个排列都有一个E值，E值的大小是是元素 a[i] > i 的个数。求解1~n 的数组排列E值等于m 的个数！

思路：

比赛时看暴力数据看了很久，一直看到最后，好像有点规律，结果错在long long 溢出了。。哎~

在借鉴了学长的博客后，感觉想的好简单，当时就是死活想不到= =！还需更加努力啊！

令dp[i][j]表示长度为i 的数组， E值为j的答案数！

既然推到dp[i][j]了，那么dp[i-1][j]也就知道了，

他可以由i-1 数组的情况推过来，

总共三种情况：

1. 把新增的数放在最后，E值不变 ans += dp[i-1][j]

2.把新增的数和满足条件的数交换，那么E值依旧不变！ ans += dp[i-1][j] * j;

3. 把新增的数和不满足的数交换，那么E值加1 ，ans +=( i-1-(j-1)) * dp[i-1][j-1];

坑：

转移方程时会有乘法，会溢出int，注意一下！

在一个要记得取模 = = ！做的太着急差点忘了。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
typedef long long ll;
ll dp[maxn][maxn];
const int mod =  1000000007;
void init(){
    dp[1][0] = 1;
    dp[1][1] = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i){
        dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j){
            dp[i][j] = ((dp[i-1][j]%mod) + ((j*dp[i-1][j])%mod) + ((i-j)*dp[i-1][j-1])%mod)%mod;
        }
    }
}
int main(){
    int n,m;
    init();
    while(scanf("%d %d",&n,&m) == 2){
        printf("%I64d\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}