【codeforces 1119H】Triple

题目描述

社论

editorial:社论

如果做过《【UNR #2】黎明前的巧克力》的话，可能对这类模型很眼熟了……

也就是一类有权的位置不多的 $fwt$

由于最后涉及一个解方程，因此需要先把每一个 $(a,b,c)$ 变成 $(0,b \oplus a, c \oplus a)$，下面记作 $(0,a,b)$

也就是一开始有 $A_0=x,A_a=y,A_b=z$

考虑 $F_{}\oplus$ 的形式，即 $A'_x=\sum_{y}A_y (-1)^{\text{popcount}(x \cap y)}$

又由于 $\text{popcount}(x \cap 0)=0$，则 $A'$ 的值域为 $\{x \pm y \pm z\}$

同时由于有 $F(A + B)=F(A)+F(B)$，因此可以先把所有数都加到一个数组上跑 $fwt$，最后解方程

那么变换完后的 $A'$ 就包含了若干个权值的值，此时它是所有数组的 $fwt$ 后的和

现在目标要求 $A''$，即所有数组的 $fwt$ 后的对应位的乘积

即 $A''_t=(x+y+z)^{p_1}(x+y-z)^{p_2}(x-y+z)^{p_3}(x-y-z)^{p_4}$

考虑到 $A'_t=p_1(x+y+z)+p_2(x+y-z)+p_3(x-y+z)+p_4(x-y-z)$

同时有约束 $p_1+p_2+p_3+p_4=n$

再搞两个数组，$U_{a \oplus b}=1$ 和 $V_{a \oplus c}=1$

于是又有了：

$$
\begin{cases}
p_1+p_2-p_3-p_4=U'_{t} \\
p_1-p_2+p_3-p_4=V'_t
\end{cases}
$$

然而还差一个，这个的构造就很巧妙了

考虑设 $W_{b \oplus c}=1$，它实际上是 $P_b=1$ 和 $Q_c=1$ 后，有 $P \oplus Q=W$

等价于 $P_{a \oplus b}=1$ 和 $Q_{a \oplus c}=1$

然后据说是可以等价于 $p_1-p_2-p_3+p_4=W'_t$

感觉这东西没人会出

 

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