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最新推荐文章于 2022-02-08 07:49:12 发布

aoping9329

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原文链接：http://www.cnblogs.com/KingSann/articles/9593184.html

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本文介绍了一种数位DP算法，用于解决在$[1,n]$区间内寻找包含特定子串49的整数数量的问题。通过将整数$n$分解为十进制数组，利用递归函数dfs(pos,state,bounded)进行状态转移，实现了高效求解。代码示例展示了如何使用C++实现这一算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问$[1,n]$有多少整数的十进制表示下存在$49$这个子串

$1 \le n \le 2^{63}-1$

学了一下正确的数位$dp$科技

首先需要把$n$按照十进制拆解了，比如说$153$，把它拆解之后就是$[3,5,1]$（从左到右对应着从低位往高位），把这个存到一个数组里，就叫它$dig$数组，下标是从$1$开始的

之后需要一个$dfs(pos,state,bounded)$函数，表示处理长度为$pos$的串、状态为$state$、是否顶到上界的答案

先说明一下什么叫做顶到上界，这里假设一下$pos=5$，$n=1647323$

如果$bounded=0$的话，相当于询问$0 \sim 99999$中有多少个满足条件的数

如果$bounded \not= 0$的话，顶到上界的意思就是$n$的前缀都必须选上，既$0 \sim 164abcd$的答案，其中$abcd$不能超过$7323$，把这个$bounded$属性下传即可

之后只需要枚举当前位置填多少就行了……

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 
 5 ll f[30][4], n, dig[30];
 6 
 7 int nxt(int st, int i) {
 8     if(st == 2) return 2;
 9     else if(st == 0) return i == 4;
10     else return i == 9 ? 2 : i == 4;
11 }
12 
13 ll dfs(int pos, int st, int bd) {
14     if(pos == 0) {
15         return st == 2;
16     } else if(!bd && f[pos][st] != -1) {
17         return f[pos][st];
18     } else {
19         int top = bd ? dig[pos] : 9;
20         ll sum = 0;
21         for(int i = 0 ; i <= top ; ++ i) {
22             sum += dfs(pos - 1, nxt(st, i), bd && i == top);
23         }
24         if(!bd) f[pos][st] = sum;
25         return sum;
26     }
27 }
28 
29 void sol() {
30     memset(f, -1, sizeof f);
31     scanf("%lld", &n);
32     int pos = 0; while(n) dig[++ pos] = n % 10, n /= 10;
33     printf("%lld\n", dfs(pos, 0, 1));
34 }
35 
36 int main() {
37     int T; scanf("%d", &T);
38     while(T -- ) sol();
39 }