【UR #4】元旦三侠的游戏（博弈论+记忆化）

最新推荐文章于 2019-06-20 22:42:00 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/4199117.html

本文解析了一道数学竞赛题目，通过双人博弈的视角，探讨了如何在限制条件下确定先手是否必胜的策略。利用记忆化搜索优化算法，解决了复杂度为O(sqrt(n)logn)的问题。

http://uoj.ac/contest/6/problem/51

题意：给m（$m \le 10^5$）个询问，每次给出$a, b(a^b \le n, n \le 10^9)$，对于每一组$a, b$，双人博弈，每次可以给$a$加1或给$b$加1，要求每次操作后$a^b \le n$。不能操作的算输。问先手是否必胜。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }

const int N=1e5+10;
int f[N][33], mx[N];
ll n;

int ask(int a, int b) {
	if((ll)a*a>n) { if(b>1) return 0; return !((n-a)&1); }
	if(b>mx[a]) return 0;
	if(f[a][b]!=-1) return f[a][b];
	if(!ask(a+1, b) && !ask(a, b+1)) return f[a][b]=1;
	return f[a][b]=0;
}
void init() {
	int sq=sqrt(n+0.5);
	for1(i, 2, sq) { 
		int cnt=1; ll now=i;
		while(now*i<=n) {
			++cnt;
			now*=i;
		} //dbg(cnt);
		mx[i]=cnt; 
	}
}
int main() {
	read(n);
	CC(f, -1);
	int m=getint();
	init();
	while(m--) {
		int a=getint(), b=getint();
		!ask(a, b)?puts("Yes"):puts("No");
	}
	return 0;
}

显然指数大于等于2的底数小于等于$sqrt(n)$，当底数大于了$sqrt(n)$我们能够根据奇偶判断胜负

然后有$sqrt(n)$个底数，每个底数最多不超过$log n=31$，所以直接记忆化暴力...复杂度$O(sqrt(n)logn)$

转载于:https://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/4199117.html