最小生成树

最新推荐文章于 2025-04-18 23:13:20 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/3521804.html

其实我在学最短路之前就学了生成树了，现在接着写。
本文介绍2种算法：Kruskal，Prim
PS:文中分大小写。图为G(V,E)，V为节点集合，E为边集合，但v表示某个节点（v∈V）
其实很多都和最短路差不多的，松弛操作不同而已。
前提：连通图

Kruskal:

原理：通过排序每一条边（权值递增）从|E|条边中取V-1条边出来（V个点嘛，最小生成树始终是V-1条边的），满足每次选的边的起点和终点不在一棵树上。
采用：并查集
步骤：
1. 初始化边，并以升序排序
2. 初始化并查集，这里以p域代表， p[i]=i; // i∈[1,|V|]
3. 循环（1~|E| : i）
  1）判断第i条边的起点和终点是否在一棵树上（使用并查集，可保证非常快的判断）
  2）如果不在的话，加入i边，并使得p[起点]=终点或 p[终点]=起点

并查集实现：

inline int find(int x)
{
	int t = x;
	while(p[x] != x) x = p[x];
	p[t] = x;
	return x;
}

分析：时间复杂度O(E) 并查集的时间太小省略。
适用于：任何连通图稀疏图
优化：我不会

Prim:

- 原理：通过|V|-1次加入树中与v的边, min{key[v] | v∈G-已生成的最小树} 到最小树中，来实现最小生成树
- 采用：优先队列 priority_queue (#include <queue> 要定义一个比较类来实现最小堆)
- 步骤：
  1. 初始化key域 key[i] = INF; // i∈[1,|V|]
  2. key[S]=0； // S为最小生成树的根
  3. 初始化vis域（已生成树），且vis[i]=0; // i∈[1,|V|]
  4. 将S压入优先队列q
  5. 循环（q不为空）
    1）使u=q的队头，并将队头出队
    2）把u与树中的边加入到树中，即设置u已经在树中vis[u]=1;
    3）对以u为起点的边进行伪松弛（这些边的终点一定是不在树中的，即vis[a]!=1）。并把这些边的终点压入队列。

我说的伪松弛的指的是：if(key[i] > edge[u][i]) key[i] = edge[u][i];//注意，如果没有u->i这条路径，edge[u][i]一定要是INF,不要是0，这点在初始化时做
（如果初始化为0的话，可以这样 if(edge[u][i] && key[i] > edge[u][i]) key[i] = edge[u][i];）
（之所以叫伪松弛，因为这和松弛太像了。）