小易喜欢的数列(网易2018校招)

最新推荐文章于 2021-11-09 17:52:07 发布

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本文介绍了一种用于生成特定性质数列的算法，该算法通过动态规划的方法，计算满足条件的数列数量。具体而言，数列长度为n，每个元素在1到k之间，且任意相邻元素满足特定规则。算法通过优化递推关系，避免了超时问题，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

小易非常喜欢拥有以下性质的数列:
1、数列的长度为n
2、数列中的每个数都在1到k之间(包括1和k)
3、对于位置相邻的两个数A和B(A在B前),都满足(A <= B)或(A mod B != 0)(满足其一即可)
例如,当n = 4, k = 7
那么{1,7,7,2},它的长度是4,所有数字也在1到7范围内,并且满足第三条性质,所以小易是喜欢这个数列的
但是小易不喜欢{4,4,4,2}这个数列。小易给出n和k,希望你能帮他求出有多少个是他会喜欢的数列。

输入描述

输入包括两个整数n和k(1 ≤ n ≤ 10, 1 ≤ k ≤ 10^5)

输出描述

输出一个整数,即满足要求的数列个数,因为答案可能很大,输出对1,000,000,007取模的结果。

示例1

输入：2 2

输出：3

算法分析

state[i][j]表示整个状态空间，其中i(1<=i<=n)表示数列的长度，j(1<=j<=k)表示数列长度为i且以数字j结尾。
递推关系有：state[i][j] += state[i-1][m] (1<=m<=k, 并且(m,j)是个合法的数列)，但是直接按照递推关系，用三层for循环会超时。为此可以先将长度为i-1的合法数列求和(记为sum)。然后对于数列长度为i的每一个j，求出数列长度为i-1时非法的序列个数（记为invalid）,即有state[i][j] = sum - invalid。
对于invalid求取，可以参照素数筛选。算法的时间复杂度大概为O(nkloglogk)

提交代码(超时)：

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
const int mod = 1000000007;

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<vector<int>> arr(n+1, vector<int>(k+1, 0));
    for (int i = 1; i <= k; ++i) arr[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
            for (int m = 1; m <= k; ++m) {
                if (m <= j || m % j != 0)
                    arr[i][j] = (arr[i][j] + arr[i-1][m]) % mod;
            }
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ans + arr[n][i]) % mod;
    cout << ans << endl;
}

提交代码：

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
const int mod = 1000000007;

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<vector<int>> arr(n+1, vector<int>(k+1, 0));
    for (int i = 1; i <= k; ++i) arr[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int sum = 0;
        for (int j = 1; j <= k; ++j) sum = (sum + arr[i-1][j]) % mod;
        // 去除无效数列
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
            int _valid = 0, p = 2;
            while (p*j <= k) {
                _valid = (_valid + arr[i-1][j*p]) % mod;
                ++p;
            }
            arr[i][j] = (sum - _valid) % mod;
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ans + arr[n][i]) % mod;
    cout << ans << endl;
}