19、数字图像中曲率计算方法详解

数字图像中曲率计算方法详解

在计算机视觉领域，曲率是描述曲线形状的重要特征，对于边缘检测、角点检测等任务具有关键作用。本文将详细介绍数字图像中曲率的计算方法，包括通过边缘方向差异、图像强度变化以及Moravec和Harris检测器等方法。

1. 曲率基础概念

曲率 $k(t)$ 定义了曲线的弯曲程度。对于参数曲线，其曲率通常通过特定公式计算。例如，对于直线，二阶导数 $\ddot{x}(t)$ 和 $\ddot{y}(t)$ 为零，曲率函数为零；对于半径为 $r$ 的圆，$\dot{x}(t) = r\cos(t)$，$\dot{y}(t) = -r\sin(t)$，则 $\ddot{x}(t) = -r\sin(t)$，$\ddot{y}(t) = -r\cos(t)$，曲率 $k(t) = \frac{1}{r}$。然而，在数字图像中，由于数据是离散的，需要采用不同的方法来计算曲率。

2. 通过边缘方向差异计算曲率

这是一种较为简单的计算数字图像曲率的方法，其核心思想是测量曲线路径上的角度变化。

2.1 基本公式

曲率可以通过相邻像素边缘方向的差异来近似，公式为：
$k(t) = f_{t + 1} - f_{t - 1}$
其中，序列 $f_{t - 1}, f_t, f_{t + 1}, f_{t + 2}$ 表示定义曲线段的像素序列的梯度方向。梯度方向可以通过边缘检测算子得到的角度，或者通过考虑像素序列的位置来计算，即 $f_t = \frac{y_{t - 1} - y_{t + 1}}{x_{t - 1} - x_{t + 1}}$，其中 $(x_t, y_t)$ 表示序列中的第 $t$ 个像素