7、图像、采样与频域处理的深入解析

图像、采样与频域处理的深入解析

1. 基础定义：Delta 函数与傅里叶变换对

在进一步探讨之前，我们首先需要定义 delta 函数。Delta 函数可以被认为是在特定时间间隔内出现的函数，其定义如下：
[
\delta(t - s) =
\begin{cases}
1, & \text{if } t = s \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]

信号的时域表示与其频域版本之间的关系被称为变换对。例如，时域中的脉冲信号的变换在频域中是一个 sinc 函数。由于这种变换是对称的，所以 sinc 函数的傅里叶变换是一个脉冲。

除了上述变换对之外，还有其他的傅里叶变换对，具体如下表所示：
| 时域信号 | 频域频谱 |
| — | — |
| 余弦函数 $\cos(t)$ | 频域中的两个点（正负频率处值相同） |
| 高斯函数 $g(t)$ | 另一个高斯函数 |
| Delta 函数 $\delta(t, 0)$ | 无限频率集 |
| 均匀间隔的 Delta 函数集 | 另一个均匀间隔的 Delta 函数集，但间距不同 |

这些变换对展示了不同信号在时域和频域之间的转换关系，为后续的信号处理和分析提供了基础。

2. 采样准则

采样准则规定了正确选择采样频率的条件。采样是指获取连续信号的瞬时值，在物理上，这些值是 A/D 转换器对相机信号进行采样的输出。采样频率的选择对信号的准确表示至关重要，不同采样频率下的采样效果可以通过以下流程图来展