11、阶乘语言中WQO判定问题的高效解决

阶乘语言中WQO判定问题的高效解决

1. 图与语言的基本概念

在图论和语言理论的研究中，有一些基础概念至关重要。对于图的研究，一个单调图类通过子图关系是良拟序的，当且仅当它包含有限个循环和有限个H - 图。如果集合Z是有限的，那么Free(Z)关于子图关系是良拟序的，当且仅当Z包含一个无弦路径（或无弦路径的诱导子图），否则Free(Z)包含无限个循环。

对于语言和自动机，设k ≥ 2是自然数，Ek = {0, 1, …, k - 1}是一个字母表。有限确定自动机A = (G, q0, Q)定义如下：
- G是一个有限有向图，可能有多重边和环，图中边用Ek中的字母标记，从同一节点出发的任意两条边标记不同。
- q0是G的一个节点，称为起始节点。
- Q是G的非空节点集，称为终止节点集。

图G中的有向路径是节点vi和边ej的序列v1, e1, …, vm, em, vm + 1，其中对于每个j = 1, …, m，边ej从vj指向vj + 1，节点和边都可在路径中重复出现。与图G中的每条有向路径τ相关联的是一个通过读取τ的边的标记得到的Ek上的单词，记为w(τ)。从节点q0开始并在终止节点结束的有向路径称为A - 路径。如果存在A - 路径τ使得w(τ) = α，则称自动机A接受单词α。自动机A接受的所有单词的集合称为A接受（或识别）的语言，记为L(A)，有限确定自动机接受的语言恰好是正则语言。

以下定理表明，给定Ek上的n个单词的集合Z，可以在时间O(nk)内构造一个有限确定自动机A，使得L(A)与阶乘语言Free(Z)重合。

2. 辅助结果

在解决主要问题之前，需要一些辅助结果。对于单词