2、计数问题的复杂性二分性：从CSP到Holant

计数问题的复杂性二分性：从CSP到Holant

1. 计数约束满足问题（#CSP）

1.1 基本定义

计数约束满足问题（#CSP）是一类广泛的局部约束计数问题。对于未加权的#CSP（记为#CSP(Γ)），其定义如下：
- 设 $D$ 是一个任意固定的有限域，$\Gamma$ 是 $D$ 上的一个任意固定的有限约束关系集 ${R_1, \ldots, R_k}$，每个 $R_i$ 具有一定的元数 $r_i$。
- #CSP(Γ) 的一个实例由两部分组成：
- 第一部分是一个有限变量集 $X = {x_1, \ldots, x_n}$，每个变量取值于 $D$。
- 第二部分是 $\Gamma$ 中的一个有限关系序列，每个关系应用于 $X$ 中的某些变量。这些是该实例需要满足的约束。
- 设 $R$ 是 $D$ 上的 $n$ 元关系，定义为这些约束的布尔合取。未加权的#CSP(Γ) 问题要求计算 $R$ 的基数，即满足输入实例中所有约束的赋值数量。

更一般地，在（复加权）#CSP 中，$\Gamma$ 被一个固定的有限约束函数集 $F = {f_1, \ldots, f_k}$ 取代，其中每个 $f_i$ 将 $D^{r_i}$ 映射到复数集 $\mathbb{C}$。#CSP(F) 的一个实例由变量 $X$（取值于 $D$）和 $F$ 中的一个约束函数序列组成，每个函数应用于 $X$ 中的某些变量。它定义了一个 $n$ 元函数 $F$：对于任何 $(x_1, \ldots, x_n) \in D^n$，$F(x_1, \ldots, x_n)$ 是约束函数评估的乘积。#CSP(F) 的输出是 $F$ 在所有赋值上的总和，称为#CS