28、并行MRI中基于矩阵补全的图像重建方法

并行MRI中基于矩阵补全的图像重建方法

1. 基于ADMM的矩阵补全算法

在并行MRI的图像重建中，矩阵补全是一种重要的技术。在求解相关子问题时，涉及到一些特定的方程和操作。
设 (G_k = U_k \text{Diag}(\Sigma_k) V_k^T) 表示 (G_k) 的奇异值分解（SVD），(\Delta_{\mu / \rho}) 表示以 (\tau = \mu / \rho) 为阈值的奇异值阈值（SVT）算子。与方程 (8.34) 类似，方程 (8.33b) 中子问题的代价函数为：
[
\arg \min_Y \frac{1}{2} | \mathcal{P} \Omega(Y) - \mathcal{P} \Omega(M) | F^2 + \frac{\rho}{2} | Y - X_k + \Pi_k / \rho |_F^2
]
为得到闭式解，将该方程重写为两个独立的子问题：
- 子问题一：
[
\arg \min {Y_{\Omega}} \frac{1}{2} | \mathcal{P} \Omega(Y {\Omega}) - \mathcal{P} \Omega(M) |_F^2 + \frac{\rho}{2} | Y {\Omega} - X_{k,\Omega} + \Pi_{k,\Omega} / \rho | F^2
]
- 子问题二：
[
\arg \min {Y_{\Omega^c}} \frac{\rho}{2} | Y_{\Omega^c} -