18、量子计算中的单比特与多比特操作解析

量子计算中的单比特与多比特操作解析

1. 单比特操作基础

在量子计算里，单比特操作是基础且关键的部分。首先，存在一种特殊的操作——量子 $|0\rangle$ 重置操作。虽然它并非可逆的幺正操作，所以不能算作门，但在某些量子计算软件环境中，允许在电路中间将一个量子比特重置为 $|0\rangle$ 态，此操作记为 $|0\rangle$ RESET。当把一个量子比特当作算法中存储多个值的临时缓冲区时，该操作十分便利。不过，它可能会使代码在不同的量子计算架构和软件开发工具包之间不具备可移植性。

接着，来探讨门和幺正矩阵的关系。所有元素属于复数域 $\mathbb{C}$ 的 2×2 幺正矩阵构成一个乘法群，被称为 2 阶幺正群，记为 $U(2, \mathbb{C})$，它是 2 阶一般线性群 $GL(2, \mathbb{C})$ 的子群。每一个单比特门都对应着这样的一个幺正矩阵，并且可以由单位矩阵和泡利矩阵构造出所有的 2×2 幺正矩阵。

任意的 $U(2, \mathbb{C})$ 矩阵都能写成一个复单位乘以幺正矩阵线性组合的形式：
[U = e^{i\theta}(c_{I_2}I_2 + c_{\sigma_x}\sigma_x + c_{\sigma_y}\sigma_y + c_{\sigma_z}\sigma_z)]
其中：
[I_2 = \sigma_0 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{bmatrix},
\sigma_x =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
1 & 0