Codeforces Round #459 (Div. 2):D. MADMAX(记忆化搜索+博弈论)-优快云博客

本文探讨了在有向无环图中，两名玩家采取最优策略进行移动的胜负关系。利用记忆化搜索算法，通过递归函数计算两人从每个点出发的胜负表，展示了博弈论在图算法中的巧妙运用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

在一个有向无环图上，两个人分别从一个点出发，两人轮流从当前点沿着某条边移动，要求经过的边权不小于上一轮对方经过的边权（ASCII码），如果一方不能移动，则判负。两人都采取最优策略，求两人分别从每个点出发的胜负关系表。

分析

记忆化搜索。
f[x][y][v]表示现在两人分别在x,y，上一轮经过的边权为v时x是否能胜利（胜利为1，失败为0）。
考虑如何转移：
对于一条从x到u的边权为val的边，如果val>=v，则可以走这条边，算出f[y][u][val]，
如果f[y][u][val]为0，则说明在 f[x][y][v]这个状态下，有使得x胜利的方案，因为两个玩家都采取最优策略，这时x必定获胜。f[x][y][v]=1
如果f[y][u][val]为1，不要紧，主动权现在在处于x点的玩家手中，他可以不从这条路走，继续考察下一条x的出边。
如果无论如何处于x的玩家都赢不了，那么f[x][y][v]=0。
巧妙地博弈

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

int n,m;
int u,v;
char s[4];
int dp[101][101][30];//dp[u][v][x]当前两人在u,v且上一轮边权为x时u的胜负
vector<pair<int,int> >mp[101];

int dfs(int u,int v,int x)
{
    if(~dp[u][v][x]) return dp[u][v][x];
    dp[u][v][x]=0;
    int sz=mp[u].size();
    for(int i=0;i<sz;++i)
    {
        pair<int,int>tmp=mp[u][i];
        if(tmp.second>=x&&(!dfs(v,tmp.first,tmp.second))) {dp[u][v][x]=1;break;}
    }
    return dp[u][v][x];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d %d %s",&u,&v,s);
        mp[u].push_back(make_pair(v,s[0]-'a'));
    }

    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(dfs(i,j,0)) putchar('A');
                else putchar('B');
        puts("");
    }
    return 0;
}

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