卡特兰数

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　　中文:卡特兰数

　　Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家

      欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

　　原理：

　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：

　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

　　该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)

       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 

          58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 

        1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 

       1289904147324, 4861946401452, 

应用

　　我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题

写出递归式了）

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问

      有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：

　　  (1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞

                 票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

                    (将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

　　 (2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以

东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

　　(一定是二叉树!

　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是

h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))         （能构成h（N）个）

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