概率DPagain

再次刷概率DP，慢更

随便找了个VJ上的概率DP专题刷，之前也没写过概率DP的博客，顺便搞了

目前总结：

期望方程好写，想后继即可

概率方程也是想后继，不过

概率题的答案概率不一定有明显的状态转移，

或者题目有明显的状态转移但是跟答案没什么关系

或者有明显的状态转移但是不知道怎么表示后继

这种题目的明显状态转移肯定是正解的一部分，往这方向想准没错

不虚，二维维护信息不够就开三维

DP注意边界处理

解DP：

待定系数（固定回到某个点，比如dp[1]），高斯消元（DP成环），直接递推

WA点：

精度控制，DP卡空间,极端数据（很逼近1，0那种），重置DP数组

树上概率DP可以分叶子与非叶子的方程

大胆假设状态，小心论证转移

POJ2096：

题意：

一个bug属于A类型（共n）,属于B类型（共s）的一种，问集齐所有类型bug的天数的期望

思路：

dp[i][j]：已集齐i种A，j种B后还需要的天数的期望。

方程就是当前状态的后继。今天干的事情可以用后继表示

dp[i][j]=p（今天收到之前没集齐到的A类型&&今天收到之前没集齐到的B类型）*dp[i+1][j+1]

+p（今天收到已有的A&&今天收到已有的B）*dp[i][j]

+p（今天收到旧A&&今天收到新B）*dp[i][j+1]

+p（今天收到新A&&今天收到旧B）*dp[i+1][j]

+1

边界：dp[n][s]=0，我们选择倒着维护出dp[0][0]

+1是因为不管今天干了什么，都要算上1天

ZOJ3329

题意：

3个骰子分别k1,k2,k3面，不断记录,并累加骰子朝上的数字和sum，

如果第一个骰子扔到a，第二个骰子扔到 b，第三个骰子扔到 c，累加和归0，

若累加和>n,游戏结束 

问游戏结束时扔的次数的期望

思路：

dp[i]:当前累加和是i 还需要扔的次数的期望是dp[i]

容易想到dp[i]的后继 ：dp[i]= p0*dp[0]+sigma(pk*dp[i+k])+1;

+1是因为不管今天扔了什么，都要算上一次

p0指归0的概率，最后输出dp0

方程出来了。。但是每项都有dp0不能倒序递推，

要么就高斯消元，要么就是待定系数法

待定系数dp[i]=a[i]*dp[0]+b[i]; 

我们要把dp[i+k]用待定系数的方式表示，最后

a[i]=p0+sigma(pk*a[i+k])

b[i]=1+sigma(pk(b[i+k]) 

预处理pk，倒序维护出ai,bi即可

难度：0.6

HDU4405

题意：

从0出发，>=n结束，m个跳跃点，可跳可不跳，跳到一个地方还可连续跳(不耗次数)
问最少步数的期望 

思路：

dp[i]为i出发的最少步数的期望，考虑贪心，能跳尽量跳，显然dp[i]=sig(dp[get(i+k)])+1,1<=k<=6 

get(i)是返回点i能跳的最大点，有点像并查集维护祖先那种感觉，预处理一下就好了

难度：0.5

HDU4089 

题意：

迷宫，给一颗树，每个节点一定概率结束，一定概率回到点1，一定概率走到邻接点
嘛，容易写出以下方程,dp[u]=ku*dp[1]+ei*0+(1-eu-ku)/tot*sigma(dp[v]+1)
这种就很蛋疼，通过上一题知道是待定系数法，但是树形不知道怎么待定,看了波题解，
自己多推几遍就熟了

思路经验：

待定系数法求解，转为dp[u]=au*dp[u]+bu*da[fa[u]]+cu的形式,

分为叶子与非叶子，因为叶子的dp[u]直接就是上面的形式

非叶子的dp[sonu]用上面的柿子带进去，最后能得到au跟av的递推式，

DFS跑一下即可，eps取1e-8WA

难度：0.85

hdu3853

题意：

左上角1,1走到右下角n,m，pij1概率原地，pij2概率向下，pij3概率向右，每次2花费

问最后走到右下角的期望花费，

思路：

枚举ij后继,dpij=pij1*dpij+pij2*dp[i,j+1]+pij3*dp[i+1,j]+2，边界dp[n][m]=0

WA点：极限数据，pij1有可能很接近1，那么该点dp[i][j]=inf;???这里改成0才能过，题目有错吧

一开始把p2,p3搞反了QAQ

难度0.5

POJ2151
题意：

T个队伍，共M题，给出每支队伍i做出j题的概率pij

问每个队伍均A至少1题，冠军队A至少N题的概率

思路：

第一反应是有s[i][j]表示前i支队伍a了至多j题的概率

均A至少1题的概率就是mul(1-s[i][0]) i<=T

均A 1~N-1题的概率就是mul(s[i][N-1]-s[i][0]) i<=T

答案就是这两个相减

然而sij并没有明显的状态转移，至少跟s[i-1][j]没关系

。。。然后就懵了

注意到:

s[i][j] 是由队伍i A了0题的概率+队伍i A了1题的概率+...队伍i A了j题的概率

对于s[i][j]，我们要想怎么求出队伍i 在M题里A出 x题的概率  x<=j

不妨设dp[i][j][k]：队伍i在前j题里A出K道的概率

为什么要这样设呢，因为dp[i][j-1]跟dp[i][j]有关系，经验啊！

状态转移：dp[i][j][k]=p[i][j]*dp[i][j-1][k-1]+(1-p[i][j])*dp[i][j-1][k];

边界：dp[i][0][0]=1.0;dp[i][j][0]=dp[i][j-1][0]*(1-p[i][j])

3重循环求解即可，这里用滚动数组可以压空间

难度：0.80

Codeforce148D
题意：

w只白鼠，b只黑鼠，女王与龙轮流选一只，先选到白鼠就赢，结束游戏，

龙选完会有一只老鼠立即离开游戏，女王先走，问女王获胜的概率

思路：

设dp[i][j]为剩i只白鼠，j只黑鼠的女王获胜的概率，这样设可以得到后继的表示

边界dp[i][0],dp[i][1],dp[i][2]手推一下。。

难度0.6

hdu4336
题意：

N种卡片，开包得到卡片的概率分别为PI，开包可能得到一张或没有卡片

问集齐卡片的期望，N<=20

思路：

由于得到卡片的概率不一定相等，所以不能够设dp[i]：当前集齐的i张卡片，来枚举后继。

注意到卡片N<=20，我们可以用（二进制状态）S表示集齐的状态 

那么设DP【S】为还需集齐（S中的1代表未集齐的卡，0代表已经集齐）的卡片

边界DP【0】=0，DP【11111....】是答案，枚举后继

DP【S】=sigma（DP【抽到没抽到的卡：S-（第k种卡，且S还没抽到第k种卡）】*pk）

+sigma（DP【S】*p2）+1

p2指抽过或者空包的概率，+1是指不管开到什么卡，都要算开了一次包

网上题解大部分都是反过来DP，感觉不太好理解

i&(1<<j)！=0即可，不需要i&(1<<j)==1，位运算太菜了orz

难度：0.6