1～N中求出1的个数

       今天在论坛看到了这个题目，挺有意思的，并且算法也很多样啊，下面就来介绍一下。
        首先是我做的，中规中矩，从1到n，对每个数字都数一下里面有多少个1，累加起来得到最终的结果。好大一个循环啊，循环里面还要再套循环，感觉挺垃圾的一个程序：

        // 第0个元素表示当前数字的长度,第1个元素表示个位，第2个表示十位……
        int[] num = ...{ 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 };
        int n = 12345;
        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ...{
            // 统计当前数字的1的个数
            for (int k = 1; k <= num[0]; k++) ...{
                if (num[k] == 1)
                    count++;
            }
            // 数字增加并进位
            for (int k = 1; k <= num[0] + 1; k++) ...{
                if (++num[k] == 10) ...{
                    num[k] = 0;
                } else ...{
                    break;
                }
            }
            // 更新数字的长度
            num[0] = num[num[0] + 1] > 0 ? num[0] + 1 : num[0];
        }
        System.out.println(count);

       
        接下来高手出现了，通过字符串的处理来解决问题，思路非常新颖啊，代码很简短，看上去很美：

//    在1到N中求出num的个数
    private static int count(int N, int num) ...{
        if (N <= 0 || num < 0 || num > 9)
            return 0;
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        for (int i = 1; i < N + 1; i++)
            sb.append(String.valueOf(i));
        int totalCount = sb.toString().length();
        String temp = sb.toString().replaceAll(String.valueOf(num), "");
        return totalCount - temp.length();
    }

        看了之后，我对这个程序提出了一个小小的疑问，那就是字符串太长了，整数是4字节的，最大的整数有2147483647这么大，输入进去很有可能造成字符串长度不够啊，就算够了也十分耗费内存。我只是想到了这个问题，但是没想到如何解决，另一个高手解决了它：

        int len = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        len += (i+"").replaceAll("[^1]", "").length();
        System.out.println(len);

        以上各种方法都是对从1到n的每一个数进行解析，如果n很大，则循环次数那是相当多啊，效率比较低下。论坛里的各位朋友讨论的比较热烈，一致认为用数学归纳法总结出一套规律，然后根据规律来编程效率会大幅提高。受此影响，我又对问题进行了分析，还真让我找到了规律，HOHO~好开心啊，代码真的很漂亮，思路也清晰。先简单介绍一下算法，以21047这个数字为例：
首先最高位会出现多少次1呢？ 10000~19999共10000个1
再看次高位是个1：1000~1999，11000~11999，21000~21047，共有2*1000+48个1
再看第三位是个0：100~199，1100~1199，……20100~20199，共有21*100个1
再看第四位是个4：10~19，110~119，210~219……21010~21019，共有210*10+10个1
最后一位是个7，共有2104*1+1个1
根据上述分析，总结第n位（从左向右数）出现1的规律如下：
第0~n-1位组成的数字乘以跨度（如上述例子，最高位跨度10000，次高位跨度1000，也是很有规律的），然后再根据当前位是大于1？等于1？小于1？来加上一个可变的数值。具体点就是，若当前位大于1，则加上跨度；若当前位等于1，则加上尾数；若当前位等于0，则加0；
代码如下：

private static int count1(int n) ...{
    int count = 0;
    String num = n+"";
    int x = (int)Math.pow(10, num.length()-1);
    for(int i=0; i<num.length(); i++) ...{
        count += Integer.parseInt("0"+num.substring(0, i))*x;
        if(num.charAt(i)>'1') ...{
            count += x;
        }else if(num.charAt(i)=='1') ...{
            count += Integer.parseInt("0"+num.substring(i+1))+1;
        }
        x /= 10;
    }
    return count;
}