北大2018暑期ACM培训练习题02:河中跳房子_奶牛们要举办跳石头比赛,在河里从一个岩石跳到另一个岩石。河道在起点和离起点 s-优快云博客

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描述

每年奶牛们都要举办各种特殊版本的跳房子比赛，包括在河里从一个岩石跳到另一个岩石。这项激动人心的活动在一条长长的笔直河道中进行，在起点和离起点L远 (1 ≤ L≤ 1,000,000,000) 的终点处均有一个岩石。在起点和终点之间，有N (0 ≤ N ≤ 50,000) 个岩石，每个岩石与起点的距离分别为Di (0 < Di < L)。

在比赛过程中，奶牛轮流从起点出发，尝试到达终点，每一步只能从一个岩石跳到另一个岩石。当然，实力不济的奶牛是没有办法完成目标的。

农夫约翰为他的奶牛们感到自豪并且年年都观看了这项比赛。但随着时间的推移，看着其他农夫的胆小奶牛们在相距很近的岩石之间缓慢前行，他感到非常厌烦。他计划移走一些岩石，使得从起点到终点的过程中，最短的跳跃距离最长。他可以移走除起点和终点外的至多M (0 ≤ M ≤ N) 个岩石。

请帮助约翰确定移走这些岩石后，最长可能的最短跳跃距离是多少？

输入

第一行包含三个整数L, N, M，相邻两个整数之间用单个空格隔开。
接下来N行，每行一个整数，表示每个岩石与起点的距离。岩石按与起点距离从近到远给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出

一个整数，最长可能的最短跳跃距离。

样例输入

25 5 2
2
11
14
17
21

题解

这道题目是要求解最长可能的最短跳跃距离。上限为L，如果m = n，则可以把所有的岩石全部移除，直接跳到对岸。岩石跳的距离是有界限的，下界为0，上界为L。我们要找的最长可能的最短跳跃距离一定是在这之间的。到此就比较明显了，我们可以不断试探中点，如果中点可以，就在右半区间继续尝试。如果中点不可以，在左半区间尝试。这个问题是一个典型的二分求解的问题。

对例子分析，我们有l = 0, r = 25. 第一次尝试中点mid = (l + r) / 2 = 12. 如果最小距离12，则需要删除2，11，14，17，21，而我们最多删除2个岩石，因此要减小距离，r = mid - 1 = 11。mid = (l + r) / 2 = 5。如果最小距离5，需要删除2，14，21，依然超过2个岩石。还需要减小距离， r = mid - 1 = 4，mid = (l + r) / 2 = 2。最小距离2，不需要删除任何岩石，因此我们尝试增加距离, l = mid + 1 = 3，mid = (l + r) / 2 = 3。最小距离3，只需要删除2这个岩石，没有超过上限M = 2。因此可以增大距离 l = mid + 1 = 4, mid = (l + r) / 2 = 4。最小距离4，需要删除2，14这两个岩石，没有超过上限M = 2。从前面的情况看，最小距离为5就需要删除3个岩石，因此4是最佳。但代码层面会继续走。由于4满足要求，则需要增大 l = mid + 1 = 5，此时l = 5, r = 4，循环终止。关于最后的取值，可以取r或者l-1。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
const int MAX = 50010;
int a[MAX];
using namespace std;
int deleteNum(int n, int mid) {//统计相邻岩石距离小于mid的个数，即需要删掉的删掉的岩石个数
    int cnt = 0, last = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(a[i] - a[last] < mid) {
            cnt++;
        }
        else {
            last = i;
        }
    }
    return cnt;
}

int main() {
    int L, n, m;
    scanf("%d%d%d", &L, &n, &m);
    a[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    n++;
    a[n] = L;
    int left = 0, right = L;
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int num = deleteNum(n, mid);
        if(num > m) {//如果岩石距离不大于mid，需要删除的岩石大于m，则需要减小求的距离值的上限，寻找更小的目标值
            right = mid - 1;
        }
        else {//如果岩石距离不大于mid，需要删除的岩石不大于m，则可以增大距离值的下限，看能否求得更大的值
            left = mid + 1;
        }
    }
    printf("%d", right);
    return 0;
}