78、贝叶斯神经网络：原理、优化与分类应用

贝叶斯神经网络：原理、优化与分类应用

1. 引言

在机器学习领域，神经网络是一种强大的工具，但传统的神经网络在处理不确定性和模型选择方面存在一定的局限性。贝叶斯神经网络通过引入贝叶斯方法，能够更好地处理这些问题，为模型的预测提供更丰富的信息。本文将深入探讨贝叶斯神经网络的相关原理、超参数优化方法以及在分类问题中的应用。

2. 预测分布与输入依赖方差

在贝叶斯神经网络中，预测分布 $p(t|x, D)$ 是一个高斯分布，其均值由网络函数 $y(x, w_{MAP})$ 给出，其中参数 $w$ 设置为其最大后验（MAP）值。方差由两部分组成：
- 第一部分 $\beta^{-1}$ 来自目标变量的固有噪声。
- 第二部分 $g^TA^{-1}g$ 是一个与输入 $x$ 相关的项，表达了由于模型参数 $w$ 的不确定性导致的插值不确定性。

输入依赖方差的计算公式为：
$\sigma^2(x) = \beta^{-1} + g^TA^{-1}g$

这一预测分布应与线性回归模型的相应预测分布进行比较，线性回归模型的预测分布由特定公式给出。

3. 超参数优化

3.1 证据框架与拉普拉斯近似

在之前的讨论中，我们假设超参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 是固定且已知的。为了选择这些超参数的值，我们可以使用证据框架和拉普拉斯近似得到的后验高斯近似。

超参数的边际似然（即证据）通过对网络权重进行积分得到：
$p(D|\alpha, \beta) = \int p(D|w, \beta)p(w|\alpha) dw$

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