Mahalanobis Distance (马氏距离)

 

 

 

 

S为样本协方差矩阵 马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联 系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的），并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺 度。

 

 1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；

 

2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。 S = D1 * D1' (D1为m*n矩阵，m > n， m为特征维数，n为样本数) rank(S) <= n 故 S 不可逆。 [if A=BC, then rank(A) <= min(rank(B), rank(C)).]

 

3）还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5，6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。 (均值向量为[5, 6], D1 = [-2 0 2; -2 0 2], S显然不可逆)

 

4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的，而所有样本点出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距 离是可以顺利计算的，但是马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。

 

 优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

 

缺点：它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。

 

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 Matlab函数 d = mahal(Y,X) —— 计算Y中每个样本到X数据集中心的马氏距离。 即：d(I) = (Y(I,:)-mu)*inv(SIGMA)*(Y(I,:)-mu)'，其中mu、SIGMA分别为X的均值和方差。 X的行数必须大于列数（样本数多于维数）。

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Points 1 and 2 are at the same euclidian distance from the origin, but point 1 is very far away from the bulk of the cloud.

 

 

参考： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A9%AC%E6%B0%8F%E8%B7%9D%E7%A6%BB http://rogerdhj.blog.sohu.com/39020502.html http://topic.youkuaiyun.com/u/20090819/15/4d4ccbe6-f186-48e6-a150-61c1f41dc4d2.html http://zoonek2.free.fr/UNIX/48_R/06.html http://www.jennessent.com/arcview/mahalanobis_description.htm http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_mahalanobis