求0到n之间所有数字中1的个数和

题目

计算4 000 000 000以内的最大的那个f(n)==n的值，函数f的功能是统计0到n之间所有数字中1的个数和。

思路

这道题需要解决2个问题，求数字1的个数和以及求最大的f(n)=n。
一、子问题1：求数字1的个数和
如果N是一位数,可以确定f(N)=1。
如果是二位数,如果 N=13，那么从 1 到 13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有 1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现 1 的次数有两次：1 和 11，十位出现 1 的次数有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（N）=2+4=6。要注意的是 11 这个数字在十位和个位都出现了 1， 但是 11 恰好在个位为 1 和十位为 1 中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑 N=23 的情况，它和 N=13 有点不同，十位出现 1 的次数为 10 次，从 10 到 19，个位出现 1 的次数为 1、11 和 21，所以f（N）=3+10=13。
通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现 1 的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果 N 的个位数大于等于 1，则个位出现 1 的次数为十位数的数字加 1；如果N 的个位数为 0，则个位出现 1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现 1 的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于 1，则十位数上出现 1 的次数为个位数的数字加 1；如
果十位数大于 1，则十位数上出现 1 的次数为 10。
f(13) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14；
…
f(93) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 10 + 10 =20；

接着分析 3 位数,

如果 N = 123：
个位出现 1 的个数为 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
十位出现 1 的个数为 20：10～19, 110～119
百位出现 1 的个数为 24：100～123

f（23）= 个位出现 1 的个数 + 十位出现 1 的个数 + 百位出现 1 的次数 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我们可以再分析 4 位数、 位数。
根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从 N 得到 f（N）的计算方法：
假设 N=abcde，这里 a、b、c、d、e 分别是十进制数 N 的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现 1 的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位（更高位）以上的数字。
（1）如果百位上的数字为 0，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数由更高位决定，比如 12 013，则可以知道百位出现 1 的情况可能是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有 1 200 个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高
位数字（12）×当前位数（100）。
（2）如果百位上的数字为 1，则可以知道，百位上可能出现 1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于 12 113，受更高位影响，百位出现 1 的情况是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现 1 的情况是 12 100～12 113，一共114 个，等于低位数字（123）+1。
（3）如果百位上数字大于 1（即为 2~9），则百位上可能出现 1的次数也仅由更高位决定，比如 12 213，则百位出现 1 的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 个，并且等于更高位数字+1（12+1）
×当前位数（100）。
二、子问题2：求最大的f(n)==n
如果对0~n的所有数据进行枚举验证f(i)=i，效率会非常低，特别是n非常大的时候，比如本题的4000000000。
所以应该通过恰当的方法快速去除那些不可能的数据，剪枝思想就是寻找过滤条件，提前减少不必要的搜索路径。
以下是过滤条件的由来：
（1）当f(n)>n的时候，令c=f(n)-n>0，设b属于[0,c)，即0 <=b < c。因为f(n)是一个非递减函数，当n2>n1时，必有f(n2)>=f(n1)。那么有f(n+b)>=f(n)。又因为b < c且c=f(n)-n，所以b < f(n)-n，得出f(n)>n+b。最后得出f(n+b)>=f(n)>n+b。
也就是说只要b属于[0,c)，当n递增b的时候，必定有f(n+b)>n+b。因此这些值都可以被剪枝忽略掉。我们取b的上确界值c来说。则有f(n+c)>=f(n)>=n+c。这时才可能出现f(n+c)=n+c的情况。这里是可能，而不是一定。
所以当f(n)>n的时候，选取递增步长c=f(n)-n，令n=n+c=n+f(n)-n=f(n)。
（2）当f(n) < n的时候，题目给的上限是4 000 000 000，这是一个10位数。可以得出结论，当n增加1的时候，f(n)最多增加10。这是一种极端情况，即新增加的那个数是1 111 111 111，所以多了10个1，那么f(n)最多增加10。目前，选取某个步长b，当n+b时，依然有f(n+b) < n+b，但是依然迅速逼近f(n)==n。
假设现在f(n1) < n1，那么想要达到f(n1)=n1的情况。f(n1)至少得增加n1-f(n1)，而此时，在之前推出的结论基础上(当n增加1的时候，f(n)最多增加10)，可以得出n1最少增加了(n1-f(n1))/10 +1。令n1增加后的结果记为n2=n1+(n1-f(n1))/10 +1。
因此n2 > n1，所以f(n2)>=f(n1)，而f(n2)=f{n1+(n1-f(n1))/10 +1} < f(n1)+n1-f(n1)=n1。所以n2>n1>f(n2)。
因此，当f(n) < n的时候，取步长为(n-f(n))/10 +1，这样的话可以迅速逼近f(N)==N。

代码

//
// Created by huxijie on 17-3-14.
// 求f(n)=n

#include <iostream>
using namespace std;

//求0到n之间所有数字中1的个数和
unsigned long fun(unsigned long n) {
    unsigned long iCount = 0;         //总数
    unsigned long  iFactor = 1;        //基数,用来取数字n的每一位
    unsigned long  iLowerNum = 0;      //较小位的数字
    unsigned long  iCurrNum = 0;       //当前位的数字
    unsigned long  iHigherNum = 0;     //较大位的数字

    while (n / iFactor != 0) {
        iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor;
        iCurrNum = (n / iFactor) % 10;
        iHigherNum = n / (iFactor * 10);

        switch (iCurrNum) {
            case 0:
                iCount += iHigherNum * iFactor;
                break;
            case 1:
                iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1;
                break;
            default:
                iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor;
                break;
        }
        iFactor *= 10;
    }
    return iCount;
}

unsigned long getMaxFunEqualN(unsigned long upperBound) {
    unsigned long n = 1, fn = 0;
    unsigned long max = 1;
    while (n <= upperBound) {
        fn = fun(n);
        if (fn == n) {
            max = n;
            n++;
            cout<<max<<endl;
        } else if (fn < n) {
            n += (n - fn) / 10 + 1;
        } else {
            n = fn;
        }
    }
    return max;
}

int main() {
    unsigned long upperBound = 4000000000L;
    cout << getMaxFunEqualN(upperBound) << endl;

    return 0;
}

参考文献：《程序员面试宝典》第5版：14.5面试例题5