扩展的欧几里得算法

最新推荐文章于 2022-03-24 19:43:58 发布

星辰浩宇

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的概念及其应用。该算法不仅能够求解两个整数的最大公约数，还能找到一组整数解ax + by = gcd(a, b)，其中x和y均为整数。通过具体的C++实现代码示例，读者可以了解如何运用扩展欧几里得算法解决实际问题。

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扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main() {
    int a,b,x,y;
    cin>>a>>b;
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    cout<<a<<" * "<<x<<" + "<<b<<" * "<<y<<" = "<<d<<endl;
    return 0;
}