[math]判断一个点是否在多边形内的方法

多边形的内角是由两条相邻边形成边界之内的角；如果一个多边形的所有内角均小于180°，则该多边形为凸(convex)多边形；否则为凹(concave)多边形：

• 凸多边形的任意两个顶点间的连线位于多边形内部或边上；
• 按顺序计算向量叉积：凸多边形均同号，凹多边形不同号。

向量叉乘判别法

向量叉乘法，只对非凹多边形有效，对于凹多边形需要切割为凸多边形。

设多边形的顶点依次为A1, A2 … An，要判断的点为P，那么：

• 分别计算向量PA1叉乘向量PA2，向量PA2叉乘向量PA3，…，向量PA(n-1)叉乘向量PAn，以及向量PAn叉乘向量PA1；
• 若这些叉乘的结果都同向的话，那么这个点就在多边形的内部。

面积和判别法

判断目标点与多边形的每条边组成的三角形面积和，是否等于该多边形，相等则在多边形内部。

设多边形的顶点依次为1,2,...,n，要判断的点为P。用P点连接多边形各顶点：

• 若P点在多边形以内，则P与各顶点组成的三角形正好填充此多边形；反之，则不能。
• 使用多边形面积计算公式，计算面积S（根据叉乘原理）：
  S = 1 2 ∣ ∑ i = 1 n ( x i ∗ y i + 1 − x i + 1 y i ) ∣ S=\frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right| S=21​∣ ∣​i=1∑n​(xi​∗yi+1​−xi+1​yi​)