36、量子优化问题的深入解析

量子优化问题的深入解析

在量子计算领域，量子优化问题的研究至关重要。本文将围绕量子优化问题展开，介绍相关的概念、性质以及不同复杂度类之间的关系。

量子解的量子优化

我们主要研究一类量子优化问题，其解为多项式规模的量子字符串（qustrings）。这里，大小为 $n$ 的 qustring 是维度为 $2^n$ 的纯量子态。设 $\Phi_n$ 是所有大小为 $n$ 的 qustring 的集合，$\Phi_{\infty}=\bigcup_{n\in N^+} \Phi_n$。为了与经典解区分，我们称这些解为量子解。在这种情况下，成本函数是从 $\Sigma^*\times\Phi_{\infty}$ 到 $\mathbb{R}$ 的部分函数，相应的最优成本函数是通过在所有多项式规模的量子解上最大化成本函数的值得到的。

下面给出一个重要的定义：
- 定义 3 ：设 $F$ 是从 $\Sigma^ \times \Phi_{\infty}$ 到 $\mathbb{R}$ 的部分函数集合。如果存在多项式 $p$ 和最大化问题 $\Pi$（其中 $\Sigma^ $ 为实例集合，$g$ 是从 $F$ 中选取的部分成本函数），使得对于每个实例 $x$，若存在 $g(x, |\varphi\rangle)$，则 $f(x) = \sup{g(x, |\varphi\rangle) | (x, |\varphi\rangle) \in \text{dom}(g) \text{ 且 } |\varphi\rangle\in\Phi_{p(|x|)}}$；否则，$f(x)$ 无定义。为简便起见，称 $g$ 以 $p$ 见证 $