34、相对论计算机与非均匀复杂度理论解读

相对论计算机与非均匀复杂度理论解读

1. 相对论计算基础

在评估相对论图灵机（RTM）的计算能力之前，我们需要了解递归理论中算术层次结构的相关概念，包括 $\Sigma_i(i \geq 0)$ 和 $\Pi_i(i \geq 0)$ 类，对于每个 $i \geq 0$，有 $\Delta_i = \Sigma_i \cap \Pi_i$。其中，$\Sigma_1$ 是递归可枚举集，$\Delta_1$ 是递归集。

从功能角度看，RTM 模型在之前的研究中被称为相对论计算机。通过与以停机问题为神谕的经典图灵机计算建立联系，证明了相对论计算机可以判定 $\Sigma_1$ 中的所有语言，并递归枚举 $\Sigma_2$ 中的所有语言，这表明相对论计算机超越了丘奇 - 图灵论题的范围。

定理 1 ：相对论图灵机（即相对论计算机）恰好能识别算术层次结构中的 $\Delta_2$ 集。
- 证明思路 ：
- 首先，扩展相对论模式可以通过在正常相对论模式中迭代调用进行模拟。
- 设 $A$ 被 RTM $R$ 识别，$R$ 必然总是停机。可设计递归谓词 $F(x, y, w)$ 使得 $w \in A \Leftrightarrow \exists x\forall yF(x, y, w)$，这表明 $A \in \Sigma_2$。同时，由于 $A$ 是相对论可识别的，所以 $A \in \Pi_2$，从而 $A \in \Delta_2$。
- 反之，若 $A \in \Delta_2$，则存在递归谓词 $F$ 和 $G$ 使得 $w \in A \Leftrightar