31、膜计算与细胞自动机同步算法研究

膜计算与细胞自动机同步算法研究

1. 膜计算中的并行算法

在膜计算领域，通信 P 系统为一些并行算法提供了简单自然的实现方式。我们先来回顾一下并行算法理论的基本概念。对于一个计算问题 Q，其顺序时间复杂度记为 (T^ (n))，即存在一个顺序算法能在 (O(T^ (n))) 步内解决问题 Q，且这个时间复杂度无法再优化。若一个并行算法使用 (W(n)) 次操作在 (T(n)) 时间内解决问题 Q，并且 (W(n) = \Theta(T^*(n)))，则称该并行算法是最优的。也就是说，无论并行算法的步数 (T(n)) 是多少，其使用的总操作数渐近等于顺序时间复杂度。

以寻找 (n) 个非负整数最大值的问题为例，我们介绍一个 P 系统 (\Pi_{max})，它实现了一个在 (O(\log n)) 时间内找到最大值的最优并行算法。我们将对 (\Pi_{max}) 中某个区域的任意数量对象并行应用一条规则视为 P 系统的一个基本操作。

寻找最大值的顺序时间复杂度 (T^*(n) = n)。为了简化，我们设 (n = 2^m)，其中 (m \geq 1)。P 系统 (\Pi_{max} = ({a, b, c, d}, \mu, w_1, \ldots, w_k, R_1, \ldots, R_k, P_0)) 包含 (k = 5(n - 1)) 个膜，这些膜被结构化为 (m + 2 = \log n + 2) 个嵌套层次。整个膜结构由四组膜组成，分别标记为 (0, \ldots, 2n - 2)、(P_0, \ldots, P_{n - 2})、(Q_0, \ldots, Q_{n - 2}) 和 (F_1, \ldots, F_{n - 2})。标记为 0 的皮