MT【354】又一道极值点偏移

allw1111 — Sat, 24 Aug 2019 16:24:00 +0800

(2014天津)已知函数$f(x)=x-ae^x(a\in R)$,有两个零点$x_1,x_2,(x_1

MT【353】线性化夹逼

allw1111 — Sat, 24 Aug 2019 07:07:00 +0800

若实数$a,b$满足$\dfrac{5}{2}a-\dfrac{3}{2}b-2\le\ln(a+b)+\ln(a-b)$, 求$5a-3b$=______ 注意到:$\ln x\le x-1(x>0)$则$\ln(a+b)+\ln(a-b)=\ln(\dfrac{1}{2}(a+b))+\ln2(a+b)$ $\le \dfrac{1}{2}(a+b)-1+2(a+b)-1=...

MT【352】极值点偏移

allw1111 — Tue, 20 Aug 2019 11:28:00 +0800

$02e$ 分析:注意到条件变形为$\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln y}{y}\in(0,\dfrac{1}{e})$,结合对数算术平均不等式以及合分比定理得$\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}\in(0,\dfrac{1}{e})$故$x+y>2...

MT【351】行列式面积公式

allw1111 — Tue, 20 Aug 2019 10:55:00 +0800

(中科大2019)已知平面坐标系上三点$A(1,0),B(0,1),C(x,\dfrac{1}{\sqrt{x}})$求$\Delta ABC$面积的最小值___ 分析:$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & ...

MT【350】隐零点两题

allw1111 — Mon, 19 Aug 2019 20:03:00 +0800

已知函数$f(x)=ae^x-\dfrac{a+1}{x}-2(a+1)\ge0,(a>0)$对任意的$x\in(0,+\infty)$恒成立,求$a$的范围. 分析:$f^{'}(x)=\dfrac{g(x)}{x^2},$其中$g(x)=ae^xx^2-(a+1),(a>0,x>0).$$\because g(x)=ae^xx^2-(a+1)>ax^2-(a...

MT【349】同时取到

allw1111 — Fri, 16 Aug 2019 21:18:00 +0800

已知$\theta \in[0,2\pi]$求$2\cos\theta-\sin\theta-\dfrac{\sin\theta+\sqrt{5}}{\cos\theta+\sqrt{5}}$的最小值_____分析:$2\cos\theta-\sin\theta-\dfrac{\sin\theta+\sqrt{5}}{\cos\theta+\sqrt{5}}=\textbf{ON}\cd...

MT【348】反函数图像解题

allw1111 — Wed, 14 Aug 2019 21:46:00 +0800

设实数$\lambda >0$,若对任意的$x\in(e^2,+\infty)$,不等式$\lambda e^{\lambda x}-\ln x>0$恒成立,则$\lambda$的最小值为_____ 提示:反函数,由题意$e^{\lambda x}\ge \dfrac{\ln x}{\lambda}$,注意到$y=e^{\lambda x}$与$y=\dfrac{\ln x...

MT【347】单变量求最值

allw1111 — Wed, 14 Aug 2019 21:23:00 +0800

设函数$f(x)=ln(ax+b)-x,$若$f(x)\le0$恒成立,求$ab$的最大值_____ 提示:设$g(x)=e^x-ax-b$,极值点为$x=\ln a$,故$ab\le a(a-a\ln a)\le \dfrac{e}{2}$,当$a=\sqrt{e},b=\dfrac{\sqrt{e}}{2}$时取到最大值. 转载于:https://www.cnblogs.com/...

MT【346】拐点处分界

allw1111 — Wed, 14 Aug 2019 09:07:00 +0800

已知函数$f(x)=-x^3+9x^2-26x+27$,对任意$k>0$,直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点,求$a$的取值范围. 分析:$f^{"}(x)=-6x+18$,如图,$f(x)$在$(-\infty,3)$下凸,$(3,+\infty)$上凸.拐点$P(3,f(3))$处的切线方程为$y=x$.$f(x)$的极大值为$M(3+\dfrac{\sq...

MT【345】三个绝对值的和

allw1111 — Tue, 13 Aug 2019 21:50:00 +0800

已知三个单位向量$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$满足$\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}=\textbf{0},\textbf{e}$ 是该平面内任意的单位向量求$2|\textbf{e}\cdot\textbf{a}|+3|\textbf{e}\cdot\textbf{b}|+4|\textbf{e}\cdot\text...

MT【344】构造函数

allw1111 — Tue, 13 Aug 2019 21:24:00 +0800

(2014卓越11) 已知$f(x)$为$R$上的可导函数,且对$\forall x_0\in R$ 有$00)$.(1)对$\forall x_0\in R$,证明:$f^{'}(x_0)<\dfrac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x} (x>0)$(2)若$|f(x)|\le1,x\i...

MT【343】三数平方法

allw1111 — Tue, 13 Aug 2019 20:36:00 +0800

已知$|\textbf{a}|=2,|\textbf{b}|=|\textbf{c}|=1,$则$(\textbf{a}-\textbf{b})\cdot(\textbf{c}-\textbf{b})$ 的最小值为_____ 分析:(三数平方法)$(\textbf{a}-\textbf{b})\cdot(\textbf{c}-\textbf{b})=\textbf{a}\cdot\te...

MT【342】条件为非负实数

allw1111 — Sun, 11 Aug 2019 22:01:00 +0800

已知$x,y,z$为非负实数,满足$(x+\dfrac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$,则$x+y+z$的最小值为______ 分析:由题意$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}{4}$故$\dfrac{13}{4}\le (x+y+z)^2+3(x+y+z)$得$x+y+z\ge\dfrac...

MT【341】换元变形

allw1111 — Tue, 28 May 2019 09:26:00 +0800

若正数$a,b,c$满足$\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{a+b}{c}+1$,则$\dfrac{a+b}{c}$的最小值为______ 答案:$\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ 解:记$x=\dfrac{a}{c}>0,y=\dfrac{b}{c}>0$则由题意$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+...

MT【340】彭塞列闭合定理

allw1111 — Sat, 11 May 2019 11:25:00 +0800

如图,设点$P$时抛物线$C_1:y^2=4x$上的动点,过$P$作圆$C_2:(x-3)^2+y^2=r^2(r>0)$的两条切线交抛物线$C_1$于$A,B$两点,其中$M,N$为切点.若过$A,B$两点的直线恒与$C_2$ 相切,求$r$的值. 解答: 从必要性入手,当$P(0,0)$时,由几何关系易知半径满足$r^3+7r^2-36=0$故$r=2,r=-3,...

MT【339】待定系数

allw1111 — Thu, 09 May 2019 20:19:00 +0800

已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$,若存在$a\in[1,2],$对任意$x\in[0,1]$,都有$f(x)\le1$,则$2b+3c$的最大值为_____ 分析:由题意$f(0)=c\le1,f(1)=a+b+c\le1$故$mf(0)+nf(1)=(m+n)c+nb+na\le m+n$令$2(m+n)=3n$代入得$3c+2b\le 3-2a$由于$a\in[1,2]$故...

MT【338】分式变形

allw1111 — Thu, 09 May 2019 10:35:00 +0800

已知首项为$a_1$公比为$q$的等比数列$\{a_n\}$满足$q^4+a_4+a_3+a_2+1=0$则$a_1$的取值范围_____ 答案:$\in(-\infty,-\dfrac{2}{3}]\cup[2,+\infty)$分析:由题意 $a_1=-\dfrac{1+q^4}{q+q^2+q^3}=-\dfrac{q^2+\frac{1}{q^2}}{q+\frac{1}{q...

MT【337】糖水不等式

allw1111 — Thu, 09 May 2019 10:33:00 +0800

已知$b_n=\dfrac{1}{2n-1}$是否存在正数$m$,使得$(1+b_1)(1+b_2)\cdots(1+b_n)\ge m\sqrt{2n+1}$恒成立分析:记$I_n=(1+b_1)(1+b_2)\cdots(1+b_n)=\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{4}{3}\cdots\dfrac{2n}{2n-1}$由糖水不等式$\dfrac{k}{k+1}...

MT【336】二次函数"脱衣服"

allw1111 — Wed, 08 May 2019 22:10:00 +0800

已知函数$f(x)=x^2+bx+c,(|b|\le5,c\in R)$,记$A=\{x|f(x)=x\},B=\{f(f(x))=x\}$若集合$A=\{x_1,x_2\},B=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$,且$|x_1-x_2|+|x_3-x_4|\le1+\sqrt{5}$恒成立,求$b+c$的取值范围. 分析:不妨设$x_2> x_1,x_4> x_3$...

MT【335】最多有几个

allw1111 — Wed, 08 May 2019 22:07:00 +0800

已知等差数列$\{a_n\}$满足:$|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|=|a_1+1|+|a_2+1|+\cdots+|a_n+1|=|a_1-1|+|a_2-1|+\cdots+|a_n-1|=98$ 则$n$的最大值为_____ 分析:注意到$|a_k+1|+|a_k-1|\ge2|a_k|$当$a_k\ge1\vee a_k\le -1$时等号成立.故$2*98=...

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