MT【345】三个绝对值的和

已知三个单位向量$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$满足$\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}=\textbf{0},\textbf{e}$ 是该平面内任意的单位向量
求$2|\textbf{e}\cdot\textbf{a}|+3|\textbf{e}\cdot\textbf{b}|+4|\textbf{e}\cdot\textbf{c}|$ 的最大值______

分析:利用$|x|+|y|+|z|=\max\{|x+y+z|,|x+y-z|，|x-y+z|，|x-y-z|\}$
易得$2|\textbf{e}\cdot\textbf{a}|+3|\textbf{e}\cdot\textbf{b}|+4|\textbf{e}\cdot\textbf{c}|=\max\{\sqrt{3},\sqrt{43},\sqrt{39},\sqrt{31}\}=\sqrt{43}$
当$\textbf{e}$与$2\textbf{a}+3\textbf{b}-4\textbf{c}$ 共线时取到.

 

 

练习:若实数$x,y,z\in[0,1]$则$|3x+4y-5z|+|3x-4y+5z|+|-3x+4y+5z|$的最大值为______
提示:15

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