切割钢条问题

最新推荐文章于 2024-10-20 01:45:23 发布

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本文探讨了如何通过两种不同的动态规划方法解决切割钢条问题，以实现利益最大化。一种是从顶部开始逐步向下求解的方法，并利用备忘录减少重复计算；另一种是从底部开始向上构建解决方案，直接复用已解决的子问题结果。

切割钢条问题

给出每种长度钢条对应的价格，对于长为n的钢条，怎样切割使得总利益最大。

找到一个分割点，左边不再切割，右边递归求解。

自顶向下，带备忘：

R[n]保存对应解，避免重复求解

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};

int cut_rod(int n,int *r) {
	int q = 0;
    if (r[n] >= 0) 
		return r[n];
	if (n ==0)
		q = 0;
	else {
		q = -1000000;
		for (int i = 1;i <= n;i++) {
			int m = p[i]+ cut_rod(n-i,r);
			q = (m > q)?m:q;
		}
	}
	r[n] = q;
    return q;
}

int main () {

    int n = 0;
	cin >> n;
	int r[10000];
	for (int i = 0;i <= n;i++) {
	    r[i] = -10000;
	}
	int max = cut_rod (n,r);
    printf ("%d\n",max);
	return 0;
}

自底向上，重构解：

长度为1的最好切割方案已经找到，随着长度的增大，它的子问题即较短长度的已经解决，直接使用，不递归。

#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int p[] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
//钢条长度对应的价格 
int * bottom_up (int n,int c) {
	
	static int s[10000];
	//保留切割点 
	int r[10000];//每长度对应的最大值 
	r[0] = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++) {
		int q = -10000;
		for (int j = 1;j <= i;j++) {
			int m = p[j]+r[i-j];
			if (r[i-j] != 0)
			    m -= c;
			//当后半段不为0时，计入成本 
			if (m > q) {
				q = m;
				s[i] = j;
			}
		}
		r[i] = q;
	}
	cout << r[n] << endl;
	return s;
}

int main () {

    int n = 0; //钢条长度 
    int c = 0; //切割成本 
	cin >> n >> c;
	int *p;
	p = bottom_up (n,c);
	for (int i = n;i > 0;i -= *(p+i)) {
		cout << *(p+i) << " ";
		//依次输出切割步骤 
	}
	cout << endl;
	return 0;
}