42、量子傅里叶变换与量子信道信息理论解析

量子傅里叶变换与量子信道信息理论解析

1. 离散傅里叶变换（DFT）

1.1 DFT定义

假设我们有一个包含 $N$ 个复数的向量 $\mathbf{f}$，其元素为 $f_k$，其中 $k \in {0, 1, \ldots, N - 1}$。离散傅里叶变换（DFT）是一个将这 $N$ 个复数映射为另外 $N$ 个复数的变换，变换后的系数 $f_j$ 由下式给出：
[f_j = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} \omega^{-jk} f_k]
其中 $\omega = \exp(2\pi i / N)$。逆 DFT 则为：
[f_j = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} \omega^{jk} f_k]

1.2 DFT性质

• 基向量变换 ：若 $f^l_k = \delta_{k, l}$，则 $f^l_j = \frac{1}{\sqrt{N}} \omega^{-jl}$。
• 正交性 ：DFT 后的向量是正交归一的，即 $\sum_{j = 0}^{N - 1} (f^l_j)^* f^m_j = \delta_{l, m}$。
• 卷积定理 ：两个向量 $\mathbf{f}$ 和 $\mathbf{g}$ 的循环卷积定义为 $(f * g) i = \sum {j = 0}^{N - 1} f_j g_{i - j}$（其中 $g_