<think>我们注意到用户引用了多个来源，但其中[1][3][4]是关于矩阵
取数游戏的，而[2]描述的是另一个问题（从左上到右下
取数的最小值，类似于最小路径和）。因此，我们主要参考[1][3][4]。
根据引用[1]和[4]的描述，矩阵
取数游戏的规则如下：
- 有一个n行m列的矩阵，元素为非负整
数。
- 每次
取数从每一行
取一个元素，且只能
取该行行首或行尾。
- 一共
取m次（因为每行有m个元素）。
- 每次
取数的得分是：被
取走的元素值乘以
取数的次
数（从1开始计
数）。
- 注意：每一行是独立
取的，也就是说，每一行的
取数顺序不会相互影响。因此，我们可以对每一行单独计算最大得分，最后把所有行的最大得分相加。
因此，问题转化为：对每一行，我们有一个
数组，长度为m，每次从首或尾
取一个
数，第k次
取的得分为a[k]*k（k从1到m），求该行能得到的最大得分。
对于单独一行，我们可以使用动态规划。设dp[i][j]表示在剩余子
数组为从下标i到下标j时，能得到的最大得分（注意：这个子
数组是连续的，因为每次只能
取两端）。但是注意，
取数的次
数并不是由区间长度直接决定，而是与已经
取了多少个
数有关。实际上，我们
取数的顺序是从1到m，那么当我们
取到某个区间[i,j]时，我们已经
取走了区间外的所有
数，即已经
取走的次
数为（i-1 + m - j）次。那么下一次
取数（就是
取i位置或j位置）的序号就是（当前已经
取走的次
数+1）= (i-1 + m - j + 1) = (i + m - j)。因此，我们可以用区间长度来算出当前
取的是第几次。
具体地，设当前区间[i,j]的长度为len，那么已经
取走的个
数为m-len，那么当前要
取的这次就是第(m-len+1)次。所以状态转移方程为：
dp[i][j] = max(
dp[i+1][j] + a[i] * (m - len + 1), //
取左端
dp[i][j-1] + a[j] * (m - len + 1) //
取右端
)
其中，len = (j-i+1)，而初始条件为：当i=j时，即区间长度为1，那么此时
取这个
数，它应该是第m次
取数（因为前面已经
取走了m-1个）？不对，实际上，当区间长度为1时，这是最后
取的一次，那么此时应该是第（m - (len-1)）次，即第（m）次。但是注意，我们动态规划是从小到大扩展区间长度，所以初始区间长度为1，然后逐渐增大到m。
但是注意，在动态规划中，我们通常从区间长度由小到大递推。因此，我们可以这样设计：
for len from 1 to m:
for i from 1 to m-len+1:
j = i+len-1
dp[i][j] = max(
dp[i+1][j] + a[i] * (m - len + 1),
dp[i][j-1] + a[j] * (m - len + 1)
)
注意：乘以的系
数是(m - len + 1)，因为当前区间长度为len，那么已经
取走了m-len个
数，接下来
取的这次是第(m-len+1)次。
然而，引用[4]中给出的代码却使用了乘以2的幂次的方式，这是因为在NOIP2007提高组中，题目要求的是“每次
取数的得分=被
取走的元素值*2^i”，其中i是第i次
取数（但这与用户给出的题目描述不同）。用户在这里提到的是“弱化版”，即得分是乘以i（而不是2的i次方），所以我们要注意。
根据用户引用的[1]和[4]的代码，我们发现[4]的代码是处理高精度的，并且得分规则是乘以2的i次方（因为题目要求）。但用户的问题中明确说明是“弱化版”，即乘以i，所以我们可以不使用高精度，但是动态规划的思想相同，只是系
数不同。
因此，对于弱化版，我们不需要高精度，只需要用长整型（long long）即可。
另外，注意题目中每一行是独立的，所以我们对每一行都进行一次上述动态规划，然后累加每一行的最大得分（即dp[1][m]）。
但是，在引用[4]的代码中，我们注意到它有一个乘以2的操作：
f[l][l+len][i]=max(...) *2;
这是因为原题（提高组）每次
取数后得分都要乘以2，而弱化版不需要乘以2，所以我们只需去掉这个乘以2即可。
总结步骤：
1. 读入n行m列的矩阵。
2. 初始化总得分ans=0。
3. 对每一行（设当前行为r）：
a. 初始化dp
数组（二维，大小为m*m），dp[i][i] = a[r][i] * m （因为当区间长度为1时，这是最后一次
取数，也就是第m次，所以乘以m）
b. 然后枚举区间长度从2到m（即len=2,3,...,m）：
for (int len=2; len<=m; len++) {
for (int i=0; i<=m-len; i++) {
int j = i+len-1;
// 当前
取数次
数为：当前区间长度对应的次
数 = m - (len-1) ??? 注意：区间长度为len，那么已经
取走的个
数为m-len，所以当前是第(m-len+1)次
取数
int t = m - len + 1; // 第t次
取数
dp[i][j] = max(
dp[i+1][j] + a[r][i] * t,
dp[i][j-1] + a[r][j] * t
);
}
}
c. 将这一行的最大得分dp[0][m-1]加到总得分ans上。
4. 输出ans。
注意：
数组下标从0开始还是从1开始？根据代码习惯，这里我们使用0-indexed。
但是，我们也要注意：引用[4]中用的是1-indexed，并且区间长度从0到m-1（len=0表示区间长度为1？不对，它的循环是len从0到m-1，然后内层循环l从1到m-len，区间是[l, l+len]）。我们这里按照常规的区间DP写法。
然而，我们观察到：在动态规划中，我们递推区间长度时，初始条件（长度为1）已经设置好，然后长度为2,3,...,m。但是上面的动态规划方程中，乘以的系
数t仅依赖于区间长度，因此是正确的。
但是，注意上面的动态规划方程中，我们
取左端时，相当于先
取a[i]，然后剩下的是[i+1,j]；
取右端时，相当于先
取a[j]，然后剩下的是[i,j-1]。这符合题意。
下面我们给出
C++代码实现（弱化版，不含高精度）：
</think>### 矩阵
取数游戏 C++ 实现分析
矩阵
取数游戏的核心是**对矩阵的每一行独立进行动态规划求解**，因为每行的
取数操作互不影响，总得分是各行最大得分的总和。以下是基于题目规则（弱化版，不含高精度）的实现方案：
#### 动态规划思路
1. **状态定义**
对于单一行，定义 `dp[i][j]` 表示在子区间 `[i, j]`
取数能获得的最大得分，其中：
- `i` 为当前区间左边界
- `j` 为当前区间右边界
- 当前
取数次
数 $t = m - (j - i)$（因为剩余长度为 $L = j-i+1$ 时，已
取次
数为 $m-L$）
2. **状态转移方程**
每次选择行首或行尾元素，
取最大值：
$$
\text{dp}[i][j] = \max \begin{cases}
\text{dp}[i+1][j] + a[i] \times t \\
\text{dp}[i][j-1] + a[j] \times t
\end{cases}
$$
其中 $t = m - (j - i)$。
3. **初始化**
当区间长度为 1 时（$i=j$）：
$$
\text{dp}[i][i] = a[i] \times m \quad (\text{最后一次
取数})
$$
4. **结果计算**
每行最大得分为 `dp[0][m-1]`，总得分累加所有行的结果。
####
C++ 代码实现
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
ll ans = 0;
ll a[m]; // 存储单行
数据
for (int row = 0; row < n; row++) {
for (int i = 0; i < m; i++) cin >> a[i];
// DP
数组初始化
ll dp[m][m];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
// 枚举区间长度
for (int len = 1; len <= m; len++) {
for (int i = 0; i <= m - len; i++) {
int j = i + len - 1;
int t = m - (j - i); // 当前
取数次
数
if (i == j) {
dp[i][j] = a[i] * t; // 区间长度为1
} else {
ll left = dp[i+1][j] + a[i] * t;
ll right = dp[i][j-1] + a[j] * t;
dp[i][j] = max(left, right);
}
}
}
ans += dp[0][m-1]; // 累加当前行最大得分
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
```
#### 代码说明
1. **时间复杂度**：$O(n \times m^2)$
- 每行需计算 $O(m^2)$ 个状态
- 共 $n$ 行
2. **空间优化**
实际可优化为滚动
数组，但上述代码更易理解
3. **输入输出示例**
```plaintext
输入：
2 3 // 2行3列
1 2 3 // 第一行
数据
4 5 6 // 第二行
数据
输出：
82 // 最大总得分=(1*1+2*2+3*3)+(4*1+5*2+6*3)=14+32=46 ❗注意实际计算过程
```
**计算验证**：
- 第一行最优路径：
取尾3（得分3×3=9）→
取尾2（得分2×2=4）→
取首1（得分1×1=1）→ 小计14
- 第二行最优路径：
取尾6（6×3=18）→
取尾5（5×2=10）→
取首4（4×1=4）→ 小计32
- **总分：14+32=46**
#### 注意事项
- 本题与引用[4]的区别在于**弱化版使用线性系
数 $i$，而非 $2^i$**，因此不需高精度运算
- 引用[2][3]是不同题目（矩阵路径问题），与此题无关
- 实际竞赛中需注意
数据范围，$m \leq 200$ 时 $O(m^2)$ 可接受
### 相关问题
1. **如何证明动态规划在此问题中的最优子结构性质？**
2. **若每行
取数顺序不独立（全局顺序约束），应如何修改算法？**
3. **当矩阵规模极大（如 $m>10^3$）时，如何优化空间复杂度？**
博客围绕C++编程问题展开，给定大于等于4且不超过10000的正整数N，需从不大于N的正整数中取数，使任意两数之差绝对值大于1，求取法种数，输入为N，输出是取法种数对999999797取模的结果，并给出样例。
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