4、线性空间、希尔伯特空间及投影定理相关知识解析

线性空间、希尔伯特空间及投影定理相关知识解析

1. 度量空间与完备性

在定义定积分时，我们将区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 个等长的子区间，即 $a = x_0 < \cdots < x_n = b$。对于任意的 $\epsilon > 0$，需要满足
[
\sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} \sup_{x_{i - 1} < x < x_i} f(x) - \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} \inf_{x_{i - 1} < x < x_i} f(x) < \epsilon
]
由于假设 $f$ 是一致连续的，当我们让 $\delta = x_i - x_{i - 1} = \frac{b - a}{n}$ 变小（即增大 $n$）时，条件 $|f(x) - f(y)| < \frac{\epsilon}{b - a}$（$x, y \in [x_{i - 1}, x_i]$）就能得到满足。

2. 线性空间与内积空间

• 线性空间的定义 ：若集合 $V$ 满足对于任意的 $x, y \in V$ 和 $\alpha \in \mathbb{R}$，有 $x + y \in V$ 且 $\alpha x \in V$，则称 $V$ 为线性空间。
  • 示例 ：
    • 在 $\mathbb{R}^d$ 中，对于 $x = [x_1, \cdots, x_d]$，$y = [y