21、网络模型中的分配模型详解

网络模型中的分配模型详解

1. 不可接受的分配问题

在实际情况中，可能会出现分配对象不具备完成特定工作的资格，从而不能被分配该工作的情况。例如，在一个项目中，每个项目被分解为研究设计（A1）、数据收集（A2）、定量分析与推断（A3）以及报告准备与展示（A4）等活动。有一个由四名员工（E1、E2、E3和E4）组成的团队，要执行其中一项活动。团队成员E3拒绝执行数据分析活动，因为该活动需要特殊的统计技能，将此活动分配给E3会产生过高的培训成本，使得这种分配不可行，而其他团队成员有能力且可以执行该活动。这种分配问题的变体被归类为不可接受的路线问题。

在最小化问题中，为了排除这种不可行的分配，会给该路线分配一个假设的高成本M；在最大化问题中，会给不可接受的路线分配 -M，以确保该特定路线不会进入解决方案。

下面通过一个具体的例子来说明解决此类问题的步骤：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 13 | 45 | 25 | 10 |
| E2 | 30 | 40 | 35 | 32 |
| E3 | 17 | 15 | M | 30 |
| E4 | 20 | 14 | 33 | 18 |

解决步骤如下：
1. 检查可行性 ：由于行数等于列数，所以解决方案是可行的。
2. 行缩减 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 35 | 15 | 0 |
| E2 | 0 | 10 | 5 | 2 |
| E3 | 2 | 0 | M | 15 |
| E4 | 6 | 0 | 19 | 4 |
3. 列缩减 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 35 | 10 | 0 |
| E2 | 0 | 10 | 0 | 2 |
| E3 | 2 | 0 | M | 15 |
| E4 | 6 | 0 | 14 | 4 |
4. 进行分配 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 35 | 10 | (0) |
| E2 | (0) | 10 | 0= | 2 |
| E3 | 2 | (0) | M | 15 |
| E4 | 6 | 0= | 14 | 4 |
5. 检查最优性 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 35 | 10 | (0) |
| E2 | (0) | 10 | 0= | 2 |
| E3 | 2 | (0) | M | 15 |
| E4 | 6 | 0= | 14 | 4 |
6. 迭代1 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 37 | 10 | 0 |
| E2 | 0 | 12 | 0 | 2 |
| E3 | 0 | 0 | M | 13 |
| E4 | 4 | 0 | 12 | 2 |
7. 再次进行分配 ：
| | A1 | A2 | A3 | A4 |
| — | — | — | — | — |
| E1 | 3 | 37 | 10 | (0) |
| E2 | 0= | 12 | (0) | 2 |
| E3 | (0) | 0= | M | 13 |
| E4 | 4 | (0) | 12 | 2 |

最终的最优分配和总时间为：
E1 — A4 = 10
E2 — A3 = 35
E3 — A1 = 17
E4 — A2 = 14
总时间 = 76周

mermaid流程图如下：

graph LR
    A[检查可行性] --> B[行缩减]
    B --> C[列缩减]
    C --> D[进行分配]
    D --> E[检查最优性]
    E --> F{是否最优}
    F -- 否 --> G[迭代]
    G --> D
    F -- 是 --> H[得出最优分配]

2. 机组分配问题

2.1 不同类型飞机分配到不同航线

以Star航空公司为例，该公司有五架飞机可用于飞往五个目的地，所有航班均从德里的同一个国内机场起飞。在将飞机分配到不同航线时，一个重要的考虑因素是最小化运营成本，而运营成本的主要组成部分是燃油成本，距离较近的目的地消耗的燃油较少，成本也较低，并且飞机在一天内可以进行多次飞行。

为了简化分配模型的说明，假设燃油成本与到达最终目的地所需的时间成正比。以下是所有飞机的航班时刻表：
| 航班 | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 04:55 - 22:35 | 08:10 - 20:25 | 05:35 - 20:50 | 06:40 - 21:40 | 06:25 - 21:50 |
| F2 | 05:45 - 20:10 | 10:30 - 22:35 | 06:30 - 20:00 | 07:30 - 20:30 | 07:15 - 23:25 |
| F3 | 06:50 - 20:10 | 09:50 - 20:55 | 05:25 - 21:10 | 04:15 - 19:30 | 08:25 - 20:35 |
| F4 | 07:55 - 19:20 | 08:40 - 21:35 | 09:50 - 22:55 | 05:05 - 22:40 | 08:45 - 12:40 |
| F5 | 09:50 - 21:30 | 07:40 - 21:10 | 10:20 - 21:30 | 06:30 - 21:50 | 10:20 - 18:05 |

各航班在各航线上的飞行时间（小时）如下：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 17.6 | 12.25 | 15.25 | 15.0 | 15.4 |
| F2 | 14.4 | 12.1 | 13.5 | 13 | 16.2 |
| F3 | 13.3 | 11.1 | 15.7 | 17.6 | 12.2 |
| F4 | 11.4 | 12.9 | 15.3 | 13.1 | 12.7 |
| F5 | 11.7 | 13.5 | 11.2 | 13.0 | 15.3 |

解决步骤如下：
1. 行缩减 ：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 5.35 | 0 | 3.0 | 2.75 | 3.15 |
| F2 | 2.3 | 0 | 1.4 | 0.9 | 4.1 |
| F3 | 2.2 | 0 | 4.6 | 6.5 | 1.1 |
| F4 | 0 | 1.5 | 3.9 | 1.7 | 1.3 |
| F5 | 0.5 | 2.3 | 0 | 0.5 | 1.8 |
2. 列缩减 ：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 5.35 | 0 | 3.0 | 2.7 | 2.05 |
| F2 | 2.3 | 0 | 1.4 | 0.4 | 3.0 |
| F3 | 2.2 | 0 | 4.6 | 6.0 | 0 |
| F4 | 0 | 1.5 | 3.9 | 1.2 | 0.2 |
| F5 | 0.5 | 2.3 | 0 | 0 | 0.5 |
3. 进行分配 ：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 5.35 | (0) | 3.0 | 2.7 | 2.05 |
| F2 | 2.3 | 0= | 1.4 | 0.4 | 3.0 |
| F3 | 2.2 | 0= | 4.6 | 6.0 | (0) |
| F4 | (0) | 1.5 | 3.9 | 1.2 | 0.2 |
| F5 | 0.5 | 2.3 | (0) | 0= | 0.5 |
4. 检查最优性 ：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 5.35 | (0) | 3.0 | 2.7 | 2.05 |
| F2 | 2.3 | 0= | 1.4 | 0.4 | 3.0 |
| F3 | 2.2 | 0= | 4.6 | 6.0 | (0) |
| F4 | (0) | 1.5 | 3.9 | 1.2 | 0.2 |
| F5 | 0.5 | 2.3 | (0) | 0= | 0.5 |
5. 迭代1 ：
| | 德里 - 加尔各答 | 德里 - 瓦拉纳西 | 德里 - 蒂鲁吉拉伯利 | 德里 - 孟买 | 德里 - 金奈 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 4.95 | (0) | 2.6 | 2.3 | 1.65 |
| F2 | 1.9 | 0 | 1.0 | (0) | 2.6 |
| F3 | 2.2 | 0.4 | 4.6 | 6.0 | (0) |
| F4 | (0) | 1.9 | 3.9 | 1.2 | 0.2 |
| F5 | 0.5 | 2.7 | (0) | 0= | 0.5 |

最终的最优分配和时间为：
Flight F1 — 德里 - 瓦拉纳西: 12.25
Flight F2 — 德里 - 孟买: 13.00
Flight F3 — 德里 - 金奈: 12.2
Flight F4 — 德里 - 加尔各答: 11.4
Flight F5 — 德里 - 蒂鲁吉拉伯利: 11.2

2.2 机组人员分配到航线

这个问题与飞机分配到航线类似，目的是将机组人员分配到不同航线，以最小化机组人员的休息时间。机组人员分配遵循一定的要求，即某机组操作的航班的目的地应与该航班下一个目的地的起点相同，并且机组人员在两次连续任务之间需要有规定的最小和最大休息时间。

以德里 - 金奈航线为例，有五个机组团队（C1、C2、C3、C4和C5）要分配到五个航班（F1、F2、F3、F4和F5），假设每个机组团队可以分配到任何航班。以下是航班时刻表：
| 航班 | 从德里出发 | 到达金奈 | 从金奈出发 | 到达德里 |
| — | — | — | — | — |
| F1 | 06:25 | 09:15 | F1 | 15:15 | 18:05 |
| F2 | 07:15 | 10:05 | F2 | 16:00 | 22:55 |
| F3 | 08:25 | 11:20 | F3 | 18:05 | 21:00 |
| F4 | 08:45 | 12:40 | F4 | 19:50 | 01:25 |
| F5 | 10:20 | 18:05 | F5 | 18:45 | 23:45 |

如果休息站在金奈，各机组团队在各航班的等待/休息时间如下：
| | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 |
| — | — | — | — | — | — |
| C1 | 6.0 | 6.75 | 8.8 | 10.6 | 9.5 |
| C2 | 5.2 | 5.9 | 8.0 | 9.75 | 8.7 |
| C3 | 3.9 | 4.7 | 6.75 | 8.5 | 7.4 |
| C4 | 2.6 | 3.3 | 5.4 | 7.2 | 6.1 |
| C5 | 21.2 | 22.1 | 24 | 1.75 | 0.67 |

如果休息站在德里，各机组团队在各航班的等待/休息时间如下：
| | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 |
| — | — | — | — | — | — |
| C1 | 12.3 | 13.2 | 14.3 | 14.1 | 21.2 |
| C2 | 10.3 | 8.3 | 9.5 | 9.8 | 16.3 |
| C3 | 9.4 | 10.25 | 11.4 | 11.75 | 18.25 |
| C4 | 5.0 | 5.8 | 7.0 | 7.3 | 13.8 |
| C5 | 6.7 | 7.5 | 8.7 | 10.2 | 10.6 |

考虑到至少5小时且不超过11小时的休息时间限制，取两个表中的最短时间如下：
| | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 |
| — | — | — | — | — | — |
| C1 | 6.0 | 6.75 | 8.8 | 10.6 | 9.5 |
| C2 | 5.2 | 5.9 | 8.0 | 9.75 | 8.7 |
| C3 | 9.4 | 10.25 | 6.75 | 8.5 | 7.4 |
| C4 | 5.0 | 5.8 | 5.4 | 7.2 | 6.1 |
| C5 | 6.7 | 7.5 | 8.7 | 10.2 | 10.6 |

解决步骤与飞机分配类似，经过多次迭代后得出最优分配方案。

3. 相关概念解释

• 匈牙利算法 ：是一种专门用于解决所有需求和供应都等于一个单位的问题（即分配问题）的方法。
• 机会损失 ：行缩减中每行最大价值与每个单元格的差值，以及列缩减中每列最大价值与该列每个单元格的差值，即为机会损失。
• 平衡问题 ：行数和列数相等的分配问题。
• 最优性 ：如果所有工作都被分配，则分配解决方案被认为是最优的。
• 不平衡分配问题 ：行数不等于列数的分配问题。
• 最大化问题 ：以最大化利润或收入的方式将工作分配给员工的问题。
• 不可接受的分配 ：分配对象不具备完成特定工作的资格，不能被分配该工作的情况。

4. 案例分析

4.1 工人分配到流程

Prime auto ltd.在格栅组装过程中，需要将操作员分配到不同的流程。该过程包括从原料箱中取出格栅并涂抹底漆（P1，平均18秒）、粘贴标志（P2，平均23秒）、在压机上按压粘贴的标志（P3，平均20秒）、组装左右装饰件（P4，平均18秒）以及检查整个格栅（P5，平均21秒）。有五名操作员（O1、O2、O3、O4和O5）可用于执行这些流程，各操作员在各流程的生产时间如下：
| | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 |
| — | — | — | — | — | — |
| O1 | 14 | 19 | 20 | 17 | 16 |
| O2 | 20 | 27 | 23 | 19 | 24 |
| O3 | 7 | 9 | 12 | 13 | 10 |
| O4 | 11 | 14 | 12 | 10 | 15 |
| O5 | 17 | 23 | 20 | 23 | 22 |

问题及解答如下：
- 问题1 ：根据上述数据，将操作员分配到不同流程，以最小化总处理时间。可使用匈牙利算法等方法进行求解。
- 问题2 ：如果操作员O5下周休假，哪个流程将未完成？在剩下的四名操作员中，哪名操作员最适合完成未完成的流程？需要重新计算各操作员在剩余流程中的时间，找出最优分配。
- 问题3 ：如果质量经理发现将流程P5和P3分别分配给O1和O3会导致生产率下降，那么在这些操作员不能分配这些流程的情况下，最优分配是什么？可将这些不可接受的分配设置为高成本，再进行求解。
- 问题4 ：为满足汽车制造商对格栅的增加需求，领班任命了另一名操作员O6来执行五个流程，但O6只能分配到P2、P3或P5，其执行这些流程的平均时间分别为20、19和21秒。进行最优分配。同样使用匈牙利算法，考虑O6的限制条件。

4.2 秋千分配给孩子

学校有五个秋千，课间休息时有很多孩子。每个秋千一次只能供一个孩子使用，学校规定每个孩子每次使用秋千的最长时间为5分钟。以下是每个孩子在每个秋千上的最长使用时间：
| | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 |
| — | — | — | — | — | — |
| K1 | 5.0 | 4.9 | 4.7 | 4.6 | 4.9 |
| K2 | 4.4 | 5.0 | 4.1 | 4.7 | 4.2 |
| K3 | 4.0 | 4.3 | 4.4 | 4.2 | 5.0 |
| K4 | 4.8 | 5.0 | 4.1 | 4.4 | 4.0 |
| K5 | 4.7 | 4.1 | 4.9 | 5.0 | 4.4 |

问题及解答如下：
- 问题1 ：将秋千分配给每个孩子，以最大化秋千使用时间。这是一个最大化分配问题，可将数据转换为最小化问题（如用一个较大值减去每个数据）后使用匈牙利算法求解。
- 问题2 ：每个秋千由一名助手操作，有五名助手（H1、H2、H3、H4和H5），各助手操作每个秋千的最短使用时间如下：
| | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 |
| — | — | — | — | — | — |
| H1 | 2.7 | 4.6 | 4.7 | 3.6 | 3.9 |
| H2 | 4.1 | 4.2 | 4.0 | 4.7 | 5.0 |
| H3 | 4.4 | 2.7 | 3.6 | 4.2 | 4.8 |
| H4 | 2.3 | 4.9 | 3.4 | 4.4 | 4.1 |
| H5 | 4.6 | 4.5 | 4.4 | 2.9 | 2.0 |

将助手分配到秋千，以最小化秋千使用时间。直接使用匈牙利算法求解。
- 问题3 ：如果助手H3因紧急工作离开，哪个秋千将未分配？重新进行分配，找出未分配的秋千。
- 问题4 ：如果孩子对助手的分配有意见，H1和H2不能分配到S1，H3不能分配到S3，H4不能分配到S5，H5不能帮助在秋千S4上的孩子，在这些情况下，分配如何变化？将这些不可接受的分配设置为高成本，再进行求解。

通过以上案例和概念的介绍，我们可以更深入地理解分配模型在实际问题中的应用和解决方法。在实际应用中，根据具体问题的特点，选择合适的方法和算法，能够有效地解决各种分配问题。

网络模型中的分配模型详解（续）

5. 更多案例分析

5.1 杂货店食品类别与货架分配

在杂货店中，有五个货架（R1、R2、R3、R4和R5）用于放置五种食品类别（F1、F2、F3、F4和F5），每种食品可以放置在任何货架上，分配基于从入口到特定货架的距离。距离数据如下：
| | R1 | R2 | R3 | R4 | R5 |
| — | — | — | — | — | — |
| F1 | 13 | 20 | 10 | 15 | 21 |
| F2 | 11 | 9 | 13 | 8 | 17 |
| F3 | 12 | 14 | 15 | 10 | 13 |
| F4 | 20 | 22 | 16 | 24 | 25 |
| F5 | 14 | 9 | 11 | 10 | 13 |

问题及解答如下：
- 问题1 ：进行最优分配，以最小化放置食品的总距离。使用匈牙利算法，通过行缩减和列缩减等步骤，找到每个食品类别对应的最佳货架，使得总距离最短。
- 问题2 ：若将距离数据视为将食品类型放置在特定货架所获得的收入（距离越近，购买可能性越高，收入越高），如何分配食品类型到货架以最大化收入。这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，再使用匈牙利算法求解。

5.2 商店与消费区域分配

有四个商店（S1、S2、S3和S4）满足四个区域（Sec - 1、Sec - 2、Sec - 3和Sec - 4）消费者的需求，消费者可以前往任何商店，各区域与商店之间的距离数据如下：
| | S1 | S2 | S3 | S4 |
| — | — | — | — | — |
| Sec - 1 | 3.6 | 5.1 | 4.2 | 3.4 |
| Sec - 2 | 3.9 | 4.8 | 6.5 | 5.6 |
| Sec - 3 | 4.4 | 3.2 | 5.2 | 4.0 |
| Sec - 4 | 6.7 | 5.4 | 4.9 | 4.1 |

问题及解答如下：
- 问题1 ：为每个区域的消费者找到最优商店，以最小化总距离。同样使用匈牙利算法，根据距离数据进行分配。
- 问题2 ：如果管理层决定仅在5公里范围内运营商店，分配会如何变化。需要筛选出距离在5公里内的商店 - 区域组合，重新构建矩阵后进行分配。
- 问题3 ：如果商店S3正在装修，只有S1、S2和S4运营，由于商店数量和区域数量不平衡，分配会如何变化。可以通过添加虚拟商店或虚拟区域，使矩阵平衡后再使用匈牙利算法求解。

5.3 接力赛选手与位置分配

一个接力赛团队有五名选手（R1、R2、R3、R4和R5）竞争四个位置（P1、P2、P3和P4），每个选手可以处于任何位置，各选手完成每个位置赛程的最短时间如下：
| | P1 | P2 | P3 | P4 |
| — | — | — | — | — |
| R1 | 6.1 | 6.7 | 6.5 | 6.4 |
| R2 | 6.3 | 6.2 | 6.1 | 6.0 |
| R3 | 5.9 | 5.8 | 6.4 | 6.2 |
| R4 | 6.6 | 6.5 | 5.7 | 6.3 |
| R5 | 6.7 | 6.2 | 6.0 | 5.9 |

进行最优分配，以最小化总时间。由于选手数量多于位置数量，可添加虚拟位置，使矩阵平衡后使用匈牙利算法求解。

5.4 汽车经销商与地理区域分配

Lex Associates要将五名潜在经销商分配到一个州的五个地理区域，每个经销商可以在每个区域开展业务，各经销商在各区域的潜在月销售量数据如下：
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
| — | — | — | — | — | — |
| D1 | 15 | 17 | 14 | 11 | 19 |
| D2 | 20 | 16 | 18 | 12 | 13 |
| D3 | 17 | 13 | 19 | 19 | 14 |
| D4 | 12 | 18 | 20 | 22 | 17 |
| D5 | 19 | 20 | 16 | 18 | 21 |

问题及解答如下：
- 问题1 ：找到最优分配，以最大化总销售量。这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，再使用匈牙利算法求解。
- 问题2 ：如果公司将潜在经销商数量增加到六名，第六名经销商在五个区域的月销售估计分别为23、21、17、19和20辆，分配会如何变化，哪个经销商会被排除。添加新的经销商数据后，重新进行分配，找出未被分配区域的经销商。
- 问题3 ：如果由于某些区域的可达性问题，公司限制某些经销商投标某些区域，销售估计发生变化，进行最优分配。将不可投标的区域设置为高成本（如M），再使用匈牙利算法求解。

5.5 巴士与机组团队分配

一个巴士服务在德里和昌迪加尔机场之间运营五辆巴士，需要将五个机组团队分配到每辆巴士，机组人员需要在两次任务之间休息至少4小时且最多10小时，休息设施在两个车站都有，巴士时刻表如下：
| 德里 - 昌迪加尔机场 | | 昌迪加尔 - 德里机场 | |
| — | — | — | — |
| 出发 | 到达 | 出发 | 到达 |
| 07:00 | 11:00 | 18:00 | 22:00 |
| 07:40 | 11:40 | 19:10 | 23:10 |
| 08:00 | 12:00 | 19:40 | 23:40 |
| 09:30 | 13:30 | 21:00 | 01:00 |
| 10:15 | 14:15 | 23:30 | 03:30 |

计算每个机组团队在每条路线上的休息时间，构建矩阵后使用匈牙利算法进行最优分配，以最小化休息时间。

5.6 员工与工作分配

有三个员工（E1、E2和E3）要分配到三个工作（J1、J2和J3），各员工完成各工作的估计时间如下：
| | J1 | J2 | J3 |
| — | — | — | — |
| E1 | 10 | 15 | 9 |
| E2 | 9 | 18 | 5 |
| E3 | 6 | 14 | 3 |

使用匈牙利算法，通过行缩减、列缩减、分配和最优性检查等步骤，找到使总工作完成时间最小的分配方案。

5.7 项目领导与项目分配

一个公司需要将三个项目领导（A、B、C）分配到三个项目（C1、C2、C3），各领导完成各项目的估计时间如下：
| | C1 | C2 | C3 |
| — | — | — | — |
| A | 10 | 16 | 32 |
| B | 14 | 22 | 40 |
| C | 22 | 24 | 34 |

同样使用匈牙利算法，找到使总项目完成时间最小的分配方案。

5.8 销售代表与销售区域分配

有四个销售代表（A、B、C、D）要分配到四个销售区域（P、Q、R、S），各销售代表在各区域的估计收入如下：
| | P | Q | R | S |
| — | — | — | — | — |
| A | 44 | 80 | 52 | 60 |
| B | 60 | 56 | 40 | 72 |
| C | 36 | 60 | 48 | 48 |
| D | 52 | 76 | 36 | 40 |

这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，再使用匈牙利算法求解，以最大化总收入。

5.9 机器与工作分配

有四台机器（A、B、C、D）要分配到六项工作，各机器在各工作的估计利润如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| A | 3 | 6 | 2 | 6 | 5 | 5 |
| B | 7 | 1 | 4 | 4 | 2 | 7 |
| C | 3 | 8 | 5 | 8 | 4 | 6 |
| D | 6 | 4 | 3 | 7 | 3 | 4 |

这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，添加虚拟机器使矩阵平衡后，使用匈牙利算法求解，以最大化总利润。

5.10 工人与玩具包装分配

有五个工人（W1、W2、W3、W4和W5）要包装五个小玩具（T1、T2、T3、T4和T5），各工人包装各玩具的成本和收入如下：
| | 收入（$） | | | | | 成本（$） | | | | |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| | T1 | T2 | T3 | T4 | T5 | T1 | T2 | T3 | T4 | T5 |
| W1 | 50 | 70 | 80 | 60 | 75 | 30 | 50 | 30 | 35 | 45 |
| W2 | 80 | 50 | 60 | 40 | 65 | 40 | 25 | 30 | 20 | 35 |
| W3 | 85 | 55 | 70 | 65 | 75 | 40 | 30 | 35 | 30 | 40 |
| W4 | 50 | 65 | 80 | 80 | 70 | 25 | 40 | 40 | 35 | 35 |
| W5 | 55 | 67 | 82 | 70 | 81 | 25 | 30 | 41 | 38 | 42 |

计算每个工人包装每个玩具的利润（收入 - 成本），构建利润矩阵后，这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，再使用匈牙利算法求解，以最大化总利润。

5.11 销售团队与产品分配

一个公司有三个销售团队（S1、S2、S3），最初有三个产品线（P1、P2、P3），后来产品组合增加到四个产品线（P1、P2、P3、P4），各销售团队在不同产品线的销售数据如下：
| 三个产品线 | | | 四个产品线 | | | |
| — | — | — | — | — | — | — |
| P1 | P2 | P3 | P1 | P2 | P3 | P4 |
| 20 | 23 | 25 | 17 | 20 | 22 | 35 |
| 26 | 32 | 27 | 24 | 30 | 22 | 39 |
| 34 | 20 | 30 | 30 | 15 | 27 | 26 |

分别对三个产品线和四个产品线的情况进行最优分配，比较分配结果的变化。可使用匈牙利算法，根据销售数据进行分配，以最大化总销售收益。

5.12 零售商与展厅分配

一个商场有六个空置展厅（S1、S2、S3、S4、S5、S6），但只有四个零售商（R1、R2、R3、R4）感兴趣，各零售商在各展厅的租金降低导致的收入损失数据如下：
| | R1 | R2 | R3 | R4 |
| — | — | — | — | — |
| S1 | 5 | 7 | 3 | 8 |
| S2 | 6 | 2 | 5 | 4 |
| S3 | 4 | 9 | 6 | 9 |
| S4 | 7 | 5 | 4 | 8 |
| S5 | 6 | 4 | 6 | 5 |
| S6 | 7 | 9 | 5 | 6 |

由于展厅数量多于零售商数量，添加虚拟零售商使矩阵平衡后，使用匈牙利算法进行最优分配，以最小化收入损失。

5.13 教师与班级分配

有四个教师（T1、T2、T3、T4）要分配到四个班级（C1、C2、C3、C4），但教师T3不能分配到班级C4（因为该班级有博士生，T3不是博士），各教师在各班级的学生反馈得分如下：
| | C1 | C2 | C3 | C4 |
| — | — | — | — | — |
| T1 | 6.5 | 5.8 | 7.2 | 6.0 |
| T2 | 6.4 | 7.4 | 8.1 | 8.2 |
| T3 | 7.1 | 6.0 | 8.3 | M |
| T4 | 8.5 | 6.9 | 6.5 | 7.1 |

这是一个最大化分配问题，可将数据取负值后转换为最小化问题，将T3 - C4的分配设置为高成本（如M），再使用匈牙利算法求解，以最大化总反馈得分。

6. 总结

分配模型在实际生活中有广泛的应用，如人员分配、资源分配等。它是一种特殊的运输模型，目标是将资源分配以最小化性能指标。通过匈牙利算法和Excel软件，可以解决各种分配问题的变体，如不平衡、最大化和不可接受的分配等。在解决实际问题时，需要根据具体情况构建合适的矩阵，将问题转化为可求解的形式，然后使用相应的算法进行求解。同时，理解相关的概念（如匈牙利算法、机会损失、平衡问题等）对于正确应用分配模型至关重要。

mermaid流程图展示整体解决分配问题的通用流程：

graph LR
    A[明确问题类型] --> B{是否平衡}
    B -- 是 --> C[构建成本矩阵]
    B -- 否 --> D[添加虚拟元素使矩阵平衡]
    D --> C
    C --> E[判断最大化或最小化问题]
    E -- 最大化 --> F[数据取负值转换为最小化]
    E -- 最小化 --> G[直接处理]
    F --> G
    G --> H[行缩减]
    H --> I[列缩减]
    I --> J[进行分配]
    J --> K[检查最优性]
    K --> L{是否最优}
    L -- 否 --> M[迭代调整]
    M --> J
    L -- 是 --> N[得出最优分配方案]

通过以上详细的案例和流程介绍，希望能帮助大家更好地掌握分配模型的应用和解决方法，在实际问题中能够灵活运用，找到最优的分配方案。