12、线性规划中的灵敏度分析与对偶理论

线性规划中的灵敏度分析与对偶理论

1. 线性规划问题的初步探讨

在某些线性规划问题的求解中，可能会出现解不完整的情况。例如，在求解过程中，变量 (x_1) 和 (x_2) 作为引入变量会重复出现。在第一次迭代时 (x_1) 成为引入变量，接着是 (x_2)，若继续求解，(x_1) 又会作为引入变量替换 (x_2)，这表明该解是无界的。一般来说，超出取值范围的值会使解变得不可行。

2. 目标函数系数变化的灵敏度分析

2.1 非基变量目标函数系数的变化

在目标函数中，每个决策变量 (x_j)（(j = 1,2,3…)）都乘以一个系数 (c_j)，代表单位利润或成本。在求解线性规划问题时，部分决策变量为基变量，其余为非基变量。当非基变量的系数发生变化时，初始最优解会受到怎样的影响呢？下面通过一个例子来进行分析。

假设一个商店经理将利润最大化问题从两个区域扩展到三个区域，新增区域为 (C)。经估计，区域 (C) 每单位的平均利润为 (30) 美元，因其距离商店较远，利润低于其他两个区域，该区域潜在客户与商店的平均距离为 (10) 英里。同时，可及性约束的右侧值也发生了变化，经理发现距离商店超过 (10) 英里的客户购买频率较低，因此决定将重点放在 (10) 英里范围内的客户。该区域家庭收入中位数为 (11000) 美元，人口密度为每平方英里 (9000) 户，这使该区域成为潜在市场。基于这些因素，建立的模型如下：
| 模型类型 | 具体内容 |
| — | — |
| 目标函数 | 最大化 (Z = 80x_1 + 40x_2 + 30x_3 + 0s_1 + 0s_2 + 0s_3) |
| 约束条