威佐夫博弈与贝蒂定理,和无处不在的黄金分割

本文深入探讨了威佐夫博弈的必胜策略,通过分析必败态的规律,运用Betty定理揭示了黄金分割比与游戏状态的关系,提供了一个快速判断策略的方法。

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Description

有两堆小石子,第一堆有a颗,第二堆有b颗
有两个人在博弈,每次操作可以从一堆石子中取走任意数量个,或者从两堆石子中取走相同数量个,不能操作者输
问先手是否有必胜策略
a,b<=1e9

Solution

其实这个模型叫做威佐夫博弈
为了方便我们规定a<=b
我们先观(da)察(biao)几个必败态
(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)…
通过人类智慧我们可以发现,第i个必败态(ai,bi)满足,ai是之前没有出现过的最小整数,bi=ai+i
这个东西有什么性质呢?
首先设b-a=k,那么每个k唯一对应一个必败态
然后每个正整数都唯一出现在某一个必败态中
那么为什么这个是必败态呢?

证明

1.必败态的后继为必胜态
如果选择操作某一堆,那么另一堆的个数不变,由之前的分析知每个自然数只会出现在一个必败态中,所以转移到的为必胜态
2.必胜态可以转移到必败态
分类讨论
1:a=a[k],b>b[k],那么我们可以操作b把b=b[k]
2:a=a[k],b<b[k],那么我们可以同时拿走a-a[b-a]个,变为a[b-a],b-a+a[b-a]=b[b-a]
3:a>a[k],b=a[k]+k,那么我们可以操作a把a=a[k]
4:a<a[k],b=a[k]+k,那么a=a[j]或b[j] (j<k),直接操作b变成我们想要的结果
Q.E.D

但是我们要怎么快速判断某一个状态为必胜态呢
也就是说找出(a[n],b[n])的通项公式

Betty定理

设a,b是正无理数且1a+1b=1{1\over a}+{1\over b}=1a1+b1=1
记P={⌊an⌋∣n∈N+\lfloor an\rfloor|n\in N^+annN+},Q={⌊bn⌋∣n∈N+\lfloor bn\rfloor|n\in N^+bnnN+},则P∩Q=∅P\cap Q=\varnothingPQ=P∪Q=N+P\cup Q=N^+PQ=N+

证明

1:P∩Q=∅P\cap Q=\varnothingPQ=
设存在k∈P且k∈Qk\in P且k\in QkPkQ,即存在正整数n,m满足k&lt;an,bm&lt;k+1k&lt;an,bm&lt;k+1k<an,bm<k+1
改写一下就是nk&gt;1a&gt;nk+1,mk&gt;1b&gt;mk+1{n\over k}&gt;{1\over a}&gt;{n\over k+1},{m\over k}&gt;{1\over b}&gt;{m\over k+1}kn>a1>k+1nkm>b1>k+1m
相加n+mk&gt;1&gt;n+mk+1{n+m\over k}&gt;1&gt;{n+m\over k+1}kn+m>1>k+1n+m
k&lt;n+m&lt;k+1k&lt;n+m&lt;k+1k<n+m<k+1,与n,m,k为正整数冲突
2:P∪Q=N+P\cup Q=N^+PQ=N+
设存在k∉P且k∉Qk\notin P且k\notin Qk/Pk/Q,即存在正整数n,m满足an&lt;k&lt;a(n+1)−1,bm&lt;k&lt;b(m+1)−1an&lt;k&lt;a(n+1)-1,bm&lt;k&lt;b(m+1)-1an<k<a(n+1)1,bm<k<b(m+1)1
改写一下就是nk&lt;1a&lt;n+1k+1,mk&lt;1b&lt;m+1k+1{n\over k}&lt;{1\over a}&lt;{n+1\over k+1},{m\over k}&lt;{1\over b}&lt;{m+1\over k+1}kn<a1<k+1n+1,km<b1<k+1m+1
相加n+mk&lt;1&lt;n+m+2k+1{n+m\over k}&lt;1&lt;{n+m+2\over k+1}kn+m<1<k+1n+m+2
n+m&lt;k&lt;n+m+1n+m&lt;k&lt;n+m+1n+m<k<n+m+1,与n,m,k为正整数矛盾

回到之前的问题

我们发现必败态很像beatty序列,因为a[n],b[n]取遍所有自然数
那么我们不妨构造a,ba,ba,b使得⌊an⌋+n=⌊bn⌋,1a+1b=1\lfloor an\rfloor+n=\lfloor bn\rfloor,{1\over a}+{1\over b}=1an+n=bn,a1+b1=1
⌊an⌋+n=⌊an+n⌋=⌊(a+1)n⌋=⌊bn⌋\lfloor an\rfloor+n=\lfloor an+n\rfloor=\lfloor (a+1)n\rfloor=\lfloor bn\rflooran+n=an+n=(a+1)n=bn
1a+1a+1=1{1\over a}+{1\over a+1}=1a1+a+11=1
解得a=1+52a={1+\sqrt 5\over 2}a=21+5
我们惊讶地发现这里出现了黄金分割比5−12\sqrt 5-1\over 2251
只能说是巧合…吗?

HDU1527取石子游戏

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

int n,m;

int main() {
	while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
		if (n>m) swap(n,m);
		int k=m-n;
		double a=((double)k*(1+sqrt(5))/2.0);
		if ((int)a==n) puts("0");
		else puts("1");
	}
	return 0;
}
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