威佐夫博弈与贝蒂定理，和无处不在的黄金分割

最新推荐文章于 2020-08-21 01:40:00 发布

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#威佐夫博弈 #贝蒂定理 #黄金分割 #HDU1527

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本文深入探讨了威佐夫博弈的必胜策略，通过分析必败态的规律，运用Betty定理揭示了黄金分割比与游戏状态的关系，提供了一个快速判断策略的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有两堆小石子，第一堆有a颗，第二堆有b颗
有两个人在博弈，每次操作可以从一堆石子中取走任意数量个，或者从两堆石子中取走相同数量个，不能操作者输
问先手是否有必胜策略
a,b<=1e9

Solution

其实这个模型叫做威佐夫博弈
为了方便我们规定a<=b
我们先观(da)察(biao)几个必败态
(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)…
通过人类智慧我们可以发现，第i个必败态(ai,bi)满足，ai是之前没有出现过的最小整数，bi=ai+i
这个东西有什么性质呢？
首先设b-a=k，那么每个k唯一对应一个必败态
然后每个正整数都唯一出现在某一个必败态中
那么为什么这个是必败态呢？

证明

1.必败态的后继为必胜态
如果选择操作某一堆，那么另一堆的个数不变，由之前的分析知每个自然数只会出现在一个必败态中，所以转移到的为必胜态
2.必胜态可以转移到必败态
分类讨论
1：a=a[k],b>b[k],那么我们可以操作b把b=b[k]
2：a=a[k],b<b[k],那么我们可以同时拿走a-a[b-a]个，变为a[b-a],b-a+a[b-a]=b[b-a]
3：a>a[k],b=a[k]+k，那么我们可以操作a把a=a[k]
4：a<a[k],b=a[k]+k，那么a=a[j]或b[j] (j<k)，直接操作b变成我们想要的结果
Q.E.D

但是我们要怎么快速判断某一个状态为必胜态呢
也就是说找出(a[n],b[n])的通项公式

Betty定理

设a,b是正无理数且 $1a+1b=1{1\over a}+{1\over b}=1$
记P={ $⌊an⌋∣n∈N+\lfloor an\rfloor|n\in N^+$ },Q={ $⌊bn⌋∣n∈N+\lfloor bn\rfloor|n\in N^+$ }，则 $P∩Q=∅P\cap Q=\varnothing$ 且 $P∪Q=N+P\cup Q=N^+$

证明

1： $P∩Q=∅P\cap Q=\varnothing$
设存在 $k∈P且k∈Qk\in P且k\in Q$ ，即存在正整数n,m满足 $k < a n, b m < k + 1$
改写一下就是 $nk>1a>nk+1，mk>1b>mk+1{n\over k}>{1\over a}>{n\over k+1}，{m\over k}>{1\over b}>{m\over k+1}$
相加 $n+mk>1>n+mk+1{n+m\over k}>1>{n+m\over k+1}$
即 $k < n + m < k + 1$ ，与n,m,k为正整数冲突
2： $P∪Q=N+P\cup Q=N^+$
设存在 $k∉P且k∉Qk\notin P且k\notin Q$ ，即存在正整数n,m满足 $a n < k < a (n + 1) - 1, b m < k < b (m + 1) - 1$
改写一下就是 $nk<1a<n+1k+1,mk<1b<m+1k+1{n\over k}<{1\over a}<{n+1\over k+1},{m\over k}<{1\over b}<{m+1\over k+1}$
相加 $n+mk<1<n+m+2k+1{n+m\over k}<1<{n+m+2\over k+1}$
即 $n + m < k < n + m + 1$ ，与n,m,k为正整数矛盾

回到之前的问题

我们发现必败态很像beatty序列，因为a[n],b[n]取遍所有自然数
那么我们不妨构造 $a, b$ 使得 $⌊an⌋+n=⌊bn⌋,1a+1b=1\lfloor an\rfloor+n=\lfloor bn\rfloor,{1\over a}+{1\over b}=1$
$⌊an⌋+n=⌊an+n⌋=⌊(a+1)n⌋=⌊bn⌋\lfloor an\rfloor+n=\lfloor an+n\rfloor=\lfloor (a+1)n\rfloor=\lfloor bn\rfloor$
$1a+1a+1=1{1\over a}+{1\over a+1}=1$
解得 $a=1+52a={1+\sqrt 5\over 2}$
我们惊讶地发现这里出现了黄金分割比 $5−12\sqrt 5-1\over 2$
只能说是巧合…吗？

HDU1527取石子游戏

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

int n,m;

int main() {
	while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
		if (n>m) swap(n,m);
		int k=m-n;
		double a=((double)k*(1+sqrt(5))/2.0);
		if ((int)a==n) puts("0");
		else puts("1");
	}
	return 0;
}