[51nod1379]索函数

最新推荐文章于 2023-03-02 20:23:38 发布

alan_cty

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分类专栏：数论位运算文章标签： 51nod1379 索函数数论斐波那契数列

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本文介绍了一种高效计算斐波那契数列第n项位数的方法，利用数学公式推导出计算公式，并通过编程实现。适用于处理大数值问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求

f i b (0) | f i b (1) | f i b (2) | . . . | f i b (n) m o d 1 e 9 + 7

$fib(0)|fib(1)|fib(2)|...|fib(n) mod 1e9+7$
n<=10^10

Solution

因为一直是或，所以我们的答案二进制位的每一位都是1.
那么答案就是fib(n)的位数k,2^(k+1)-1.
那么我们就是要快速求出fib(n)的位数。
当n较小的时候，我们就可以直接求出来了。
当n较大的时候呢？
我们知道，斐波那契数列的第n项的通项公式是：

f i b (n) = 1 5 \sqrt [(1 + 5 \sqrt 2) n - (1 - 5 \sqrt 2) n]

$fib(n)={{1\over \sqrt5}[({1+\sqrt5\over 2})}^n-{{({1-\sqrt5\over 2})}^n]}$
而且

lim n \to \infty (1 - 5 \sqrt 2) n = 0

$\lim_{n\to \infty}{({1-\sqrt5\over 2})}^n=0$
于是当n较大的时候，位数就是

log 2 (1 5 \sqrt (1 + 5 \sqrt 2) n)

$\log_2({{1\over \sqrt5}({1+\sqrt5\over 2})}^n)$
也就是

n * log 2 (1 + 5 \sqrt 2) - log 2 (5 \sqrt)

$n*\log_2({1+\sqrt5\over 2})-\log_2({\sqrt5})$
然后就解决了。

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int mo=1e9+7;
db f[106];
ll n,ans;
int ty;
ll mi(ll x,ll y) {
    ll z=1;
    for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1) z=z*x%mo;
    return z;
}
int main() {
    f[1]=1;fo(i,2,100) f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {
        scanf("%lld",&n);
        if (n==0) {printf("0\n");continue;}
        if (n<=100) {
            int l=log(f[n])/log(2);ans=mi(2,l+1);
            printf("%lld\n",ans-1);
            continue;
        }
        ll l=n*log((1+sqrt(5))/2)/log(2)-log(sqrt(5))/log(2);
        ans=mi(2,l+1);printf("%lld\n",ans-1);
    }
}