[SDOI2014][BZOJ3533] 向量集 [线段树+凸包]

题面

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思路

首先当然是推式子

对于一个询问点$(x_0,y_0$和给定向量$(x_1,y_1)$来说，点积这么表达：

$A=x_0x_1+y_0y_1$

首先肯定是考虑大小关系：$x_0x_1+y_0y_1\geq x_0x_2+y_0y_2$

然后其实会发现这条路走不通

那么还有什么办法呢？我们发现上面的式子里面是有$Ans$存在的

那我们尝试把$Ans$搞进去

$y_1=-\frac{x_0}{y_0}x_1+\frac{A}{y_0}$

诶，半平面出来了= =

实际上，这里相当于是有一条斜率为$\frac{x_0}{y_0}$的过原点的直线，点$(x_1,y_1)$到这条直线的距离就是$\frac{Ans}{y_0}$

那么这样就好做了：当$y_0 > 0$时，我们只要找到给定点集中的上凸包顶端的那个店，就是答案；反之则是下凸包底端的点

再考虑到：题目中是区间询问，有限制，考虑使用线段树

线段树的话有一个问题：不能每次插入一个新的节点就update一次凸包吧？肯定是不行的

但是发现，线段树区间询问的性质决定了，它只会在已经被完整覆盖（也就是目前插入的数量等于区间长度）的点上跑二分询问

那么我们可以只在一个线段树节点的所有覆盖的位置都已经被插入的时候才求出它的上下凸包

这样大大降低了复杂度，变为$O(n\log^2n)$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<vector>
#define eps 1e-9
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
struct node{
    ll x,y;
    node(ll xx=0,ll yy=0){x=xx;y=yy;}
    inline friend bool operator <(const node &a,const node &b){return (a.x==b.x)?(a.y<b.y):(a.x<b.x);}
    inline friend node operator -(const node &a,const node &b){return node(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline friend ll operator *(const node &a,const node &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    inline friend ll operator /(const node &a,const node &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
};
vector<node>seg[1600010],q1[1600010],q2[1600010];int top1[1600010],top2[1600010],n;
inline void insert(int l,int r,int num,int pos,node p){
    seg[num].push_back(p);
    int mid=(l+r)>>1,i;
    if(pos==r){//只有完全插入的时候才求凸包
        sort(seg[num].begin(),seg[num].end());
        int &t1=(top1[num]),&t2=(top2[num]);
        for(i=0;i<r-l+1;i++){
            while(t1>0&&(q1[num][t1]-q1[num][t1-1])*(q1[num][t1]-seg[num][i])<eps) q1[num].pop_back(),t1--;
            q1[num].push_back(seg[num][i]);t1++;
            while(t2>0&&(q2[num][t2]-q2[num][t2-1])*(q2[num][t2]-seg[num][i])>-eps) q2[num].pop_back(),t2--;
            q2[num].push_back(seg[num][i]);t2++;
        }
    }
    if(l==r) return;
    if(mid>=pos) insert(l,mid,num<<1,pos,p);
    else insert(mid+1,r,num<<1|1,pos,p);
}
inline ll query1(int l,int r,int ql,int qr,int num,node p){
    if(l>=ql&&r<=qr){
        int L=1,R=top1[num],MID,ANS=0;
        while(L<=R){
            MID=(L+R)>>1;
            if(q1[num][MID]/p>q1[num][MID-1]/p) ANS=MID,L=MID+1;
            else R=MID-1;
        }
        return q1[num][ANS]/p;
    }
    int mid=(l+r)>>1;ll re=-1e18;
    if(mid>=ql) re=max(re,query1(l,mid,ql,qr,num<<1,p));
    if(mid<qr) re=max(re,query1(mid+1,r,ql,qr,num<<1|1,p));
    return re;
}

inline ll query2(int l,int r,int ql,int qr,int num,node p){
    if(l>=ql&&r<=qr){
        int L=1,R=top2[num],MID,ANS=0;
        while(L<=R){
            MID=(L+R)>>1;
            if(q2[num][MID]/p>q2[num][MID-1]/p) ANS=MID,L=MID+1;
            else R=MID-1;
        }
        return q2[num][ANS]/p;
    }
    int mid=(l+r)>>1;ll re=-1e18;
    if(mid>=ql) re=max(re,query2(l,mid,ql,qr,num<<1,p));
    if(mid<qr) re=max(re,query2(mid+1,r,ql,qr,num<<1|1,p));
    return re;
}
int main(){
    memset(top1,-1,sizeof(top1));
    memset(top2,-1,sizeof(top2));
    n=read();int i,cntn=0,t1,t2,t3,t4;ll lastans=0;char op[10],s[10];
    scanf("%s",op);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s);t1=read();t2=read();
        if(s[0]=='Q') t3=read(),t4=read();
        if(op[0]!='E'){
            t1^=(lastans&0x7fffffff);
            t2^=(lastans&0x7fffffff);
            if(s[0]=='Q'){
                t3^=(lastans&0x7fffffff);
                t4^=(lastans&0x7fffffff);
            }
        }
        if(s[0]=='Q'){
            if(t2>0) lastans=query1(1,n,t3,t4,1,node(t1,t2));
            else lastans=query2(1,n,t3,t4,1,node(t1,t2));
            printf("%lld\n",lastans);
        }
        else insert(1,n,1,++cntn,node(t1,t2));
    }
}

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