1063: [Noi2008]道路设计

Description

　　Z国坐落于遥远而又神奇的东方半岛上，在小Z的统治时代公路成为这里主要的交通手段。Z国共有n座城市，一
些城市之间由双向的公路所连接。非常神奇的是Z国的每个城市所处的经度都不相同，并且最多只和一个位于它东
边的城市直接通过公路相连。Z国的首都是Z国政治经济文化旅游的中心，每天都有成千上万的人从Z国的其他城市
涌向首都。为了使Z国的交通更加便利顺畅，小Z决定在Z国的公路系统中确定若干条规划路线，将其中的公路全部
改建为铁路。我们定义每条规划路线为一个长度大于1的城市序列，每个城市在该序列中最多出现一次，序列中相
邻的城市之间由公路直接相连(待改建为铁路)。并且，每个城市最多只能出现在一条规划路线中，也就是说，任意
两条规划路线不能有公共部分。当然在一般情况下是不可能将所有的公路修建为铁路的，因此从有些城市出发去往
首都依然需要通过乘坐长途汽车，而长途汽车只往返于公路连接的相邻的城市之间，因此从某个城市出发可能需要
不断地换乘长途汽车和火车才能到达首都。我们定义一个城市的“不便利值”为从它出发到首都需要乘坐的长途汽
车的次数，而Z国的交通系统的“不便利值”为所有城市的不便利值的最大值，很明显首都的“不便利值”为0。小
Z想知道如何确定规划路线修建铁路使得Z国的交通系统的“不便利值”最小，以及有多少种不同的规划路线的选择
方案使得“不便利值”达到最小。当然方案总数可能非常大，小Z只关心这个天文数字modQ后的值。注意：规划路
线1-2-3和规划路线3-2-1是等价的，即将一条规划路线翻转依然认为是等价的。两个方案不同当且仅当其中一个方
案中存在一条规划路线不属于另一个方案。

Input

　　第一行包含三个正整数N、M、Q,其中N表示城市个数,M表示公路总数,N个城市从1~N编号,其中编号为1的是首都
。Q表示上文提到的设计路线的方法总数的模数。接下来M行,每行两个不同的正数ai、bi(1≤ai,bi≤N)表示有一条
公路连接城市ai和城市bi。输入数据保证一条公路只出现一次。

Output

　　包含两行。第一行为一个整数,表示最小的“不便利值”。第二行为一个整数,表示使“不便利值”达到最小时
不同的设计路线的方法总数modQ的值。如果某个城市无法到达首都,则输出两行-1。

Sample Input

5 4 100
1 2
4 5
1 3
4 1

Sample Output

1
10

HINT

 

　　以下样例中是10种设计路线的方法：

(1)4-5

(2)1-4-5

(3)4-5，1-2

(4)4-5，1-3

(5)4-5，2-1-3

(6)2-1-4-5

(7)3-1-4-5

(8)1-4

(9)2-1-4

(10)3-1-4

【数据规模和约定】

对于100%的数据，满足1≤N，M≤100000，1≤Q≤120000000。

 

 

 

根据题意一个点最多只能向右连一条边，那么这一定是一棵树。。。

所以显然如果边数小于n-1，那么无解。。。

然后我们考虑一下答案。。。显然答案最大不超过这棵树的层数。。。

再看一下点数，发现是100000，所以树最多是21层。。。

所以答案应该不超过21.。。

然后我们再来考虑方案数。。。可以得到一个点最多连两条优化的边。。。

所以很容易想到这是一个DP。。。

f[i][j][k]表示i与i的子树间连k条边，答案是j的方案数。。

所以易得：

f[i][j][0]=∏(f[x][j-1][0]+f[x][j-1][1]+f[x][j-1][2])  x是i的儿子节点

f[i][j][1]=∑((f[x][j][1]+f[x][j][0])*∏(f[y][j-1][0]+f[y][j-1][1]+f[y][j-1][2])) y是不同于x的i的儿子结点

f[i][j][2]=∑((f[x][j][1]+f[x][j][0])*(f[y][j][1]+f[y][j][0])*∏(f[z][j-1][0]+f[z][j-1][1]+f[z][j-1][2])) 

整理后令

tmp1=f[x][j][1]+f[x][j][0]

tmp2=f[x][j-1][0]+f[x][j-1][1]+f[x][j-1][2]

则

f[i][j][2]=f[i][j][2]*tmp2+f[i][j][1]*tmp1

f[i][j][1]=f[i][j][1]*tmp2+f[i][j][0]*tmp1

f[i][j][0]=f[i][j][0]*tmp2;

然后就好了。。。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<string>
 8 #include<map>
 9 #include<queue>
10 #include<vector>
11 #include<set>
12 #define inf 1000000000
13 #define maxn 100000+5
14 #define maxm 200000+5
15 #define eps 1e-10
16 #define ll long long
17 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
18 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
19 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
20 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
21 #define for4(i,x) for(int i=head[x],y=e[i].go;i;i=e[i].next,y=e[i].go)
22 using namespace std;
23 ll read(){
24     ll x=0,f=1;char ch=getchar();
25     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
26     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
27     return x*f;
28 }
29 int n,m,tot,ans;
30 int head[maxn];
31 ll f[maxn][25][3],q;
32 struct edge{
33     int go,next;
34 }e[maxm];
35 void insert(int u,int v){
36     e[++tot]=(edge){v,head[u]};head[u]=tot;
37     e[++tot]=(edge){u,head[v]};head[v]=tot;
38 }
39 ll p(ll x){
40     if(x%q==0&&x)return q;
41     return x%q;
42 }
43 void dfs(int x,int fa){
44     for0(i,21)f[x][i][0]=1;
45     for4(i,x){
46         if(y==fa)continue;
47         dfs(y,x);
48         for0(j,21){
49             ll tmp1=0,tmp2=0;
50             tmp1=p(f[y][j][0]+f[y][j][1]);
51             if(j)tmp2=p(f[y][j-1][0]+f[y][j-1][1]+f[y][j-1][2]);
52             f[x][j][2]=p(f[x][j][2]*tmp2+f[x][j][1]*tmp1);
53             f[x][j][1]=p(f[x][j][1]*tmp2+f[x][j][0]*tmp1);
54             f[x][j][0]=p(f[x][j][0]*tmp2);
55         }
56     }
57 }
58 int main(){
59     //freopen("input.txt","r",stdin);
60     //freopen("output.txt","w",stdout);
61     n=read();m=read();q=read();
62     if(m!=n-1){printf("-1\n-1");return 0;}
63     for1(i,m){
64         int u=read(),v=read();
65         insert(u,v);
66     }
67     dfs(1,0);
68     for0(i,21)
69         if((f[1][i][0]+f[1][i][1]+f[1][i][2])>0){
70             printf("%d\n%lld",i,(f[1][i][0]+f[1][i][1]+f[1][i][2])%q);
71             return 0;
72         }
73     printf("-1\n-1");
74     return 0;
75 }

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